Numerische Optimierung von Düsenformen für das Fused Deposition Modeling

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

Fused Deposition Modeling (FDM) ist eine dominierende additive Fertigungstechnologie, geschätzt für ihre Kosteneffizienz und Materialvielfalt. Die Erzielung hoher Druckgeschwindigkeiten ohne Präzisionseinbußen bleibt jedoch eine große Herausforderung, die maßgeblich durch Druckverluste in der Extrusionsdüse begrenzt wird. Während die Optimierung von Prozessparametern üblich ist, wird das geometrische Design der Düse selbst oft vernachlässigt, wobei die meisten Systeme auf Standard-Kegelformen zurückgreifen. Diese Arbeit schließt diese Lücke, indem sie einen numerischen Rahmen zur Optimierung der Düsengeometrie zur Minimierung des Druckverlusts vorstellt und so höhere realisierbare Druckgeschwindigkeiten ermöglicht. Die Studie vergleicht kritisch zwei grundlegende konstitutive Modelle für den Polymer-Schmelzefluss: ein temperaturabhängiges, scherverdünnendes viskoses Modell und ein isothermes viskoelastisches Modell.

2. Methodik

2.1. Strömungsmodellierung

Der Kern der Analyse liegt in der Simulation der nicht-newtonschen Strömung der Polymerschmelze. Es werden zwei Modelle verwendet:

• Viskoses Modell: Ein Modell einer generalisierten Newtonschen Flüssigkeit, bei dem die Viskosität ($\eta$) eine Funktion der Scherrate ($\dot{\gamma}$) und Temperatur (T) ist, typischerweise nach einem Carreau- oder Potenzgesetz-Modell: $\eta(\dot{\gamma}, T) = \eta_0(T) [1 + (\lambda \dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$. Dieses Modell erfasst Scherverdünnung, vernachlässigt jedoch elastische Effekte.
• Viskoelastisches Modell: Ein isothermes Modell, das Flüssigkeitsgedächtnis und elastische Spannungen berücksichtigt, oft unter Verwendung differentialer konstitutiver Gleichungen wie dem Giesekus- oder Phan-Thien–Tanner-Modell. Dies ist entscheidend für die Vorhersage von Phänomenen wie dem Extrudat-Aufweitung („die swell“).

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) wird verwendet, um die Erhaltungsgleichungen (Masse und Impuls) für diese Modelle im Düsenbereich zu lösen.

2.2. Formparametrisierung

Die Düsenform wird parametrisch definiert, um eine Optimierung zu ermöglichen:

• Einfache Parametrisierung: Der Düsenkontur wird durch einen geraden konvergenten Abschnitt mit einem variablen halben Öffnungswinkel ($\alpha$) definiert.
• Erweiterte Parametrisierung: Der Kontur wird durch eine B-Spline-Kurve beschrieben, die von einer Reihe von Kontrollpunkten gesteuert wird. Dies ermöglicht komplexe, nicht-konische Formen, die ein einfacher Winkel nicht darstellen kann.

2.3. Optimierungsrahmen

Es wird ein gradientenbasierter Optimierungskreislauf etabliert. Die Zielfunktion ist der gesamte Druckabfall ($\Delta P$) vom Düseneinlass zum -auslass. Die Entwurfsvariablen sind der Winkel ($\alpha$) oder die Koordinaten der B-Spline-Kontrollpunkte. Der Rahmen passt die Geometrie iterativ an, vernetzt das Gebiet neu, simuliert die Strömung erneut und berechnet die Sensitivität von $\Delta P$ bezüglich der Entwurfsvariablen, bis ein Minimum gefunden ist.

3. Ergebnisse & Diskussion

3.1. Ergebnisse des viskosen Modells

Für das viskose Modell zeigte der optimale halbe Öffnungswinkel ($\alpha_{opt}$) eine starke Abhängigkeit von der volumetrischen Flussrate (Vorschubgeschwindigkeit).

• Hohe Flussraten: Begünstigten kleinere Konvergenzwinkel, mit $\alpha_{opt}$ nahe 30°. Eine steilere Konvergenz bei hohem Fluss minimiert die viskose Dissipation im langen, engen Bereich hoher Scherung.
• Niedrige Flussraten: Erlaubten größere optimale Winkel (z.B. 60°-70°). Die Strömung wird weniger von der Scherung dominiert, und eine sanftere Verjüngung reduziert Eintrittseffekte.

Diagrammbeschreibung: Eine Darstellung von $\Delta P$ gegenüber $\alpha$ für verschiedene Flussraten würde deutliche Minima zeigen, wobei sich der Minimalpunkt mit steigender Flussrate nach links (zu kleineren Winkeln) verschiebt.

3.2. Ergebnisse des viskoelastischen Modells

Im Gegensatz dazu sagte das viskoelastische Modell eine viel schwächere Abhängigkeit von $\alpha_{opt}$ von der Vorschubgeschwindigkeit voraus. Der optimale Winkel blieb über verschiedene Strömungsbedingungen hinweg innerhalb eines engeren Bandes. Dies wird auf die konkurrierenden Effekte von viskoser Scherung und elastischen Normalspannungen zurückgeführt, die unterschiedliche geometrische Sensitivitäten aufweisen. Die elastischen Spannungen, die vom viskosen Modell nicht erfasst werden, modifizieren den optimalen Strömungspfad.

3.3. Vergleich & Zentrale Erkenntnisse

1. Die Modellwahl ist entscheidend: Das konstitutive Modell verändert das Optimierungsergebnis grundlegend. Ein mit einem einfachen viskosen Modell optimiertes Design kann für reale viskoelastische Schmelzen suboptimal sein, insbesondere wenn die elastische Extrudataufweitung für die Depositionsgenauigkeit relevant ist.

2. Abnehmende Grenzerträge der Komplexität: Eine zentrale Erkenntnis ist, dass die erweiterte B-Spline-Parametrisierung im Vergleich zur einfachen Winkeloptimierung nur geringfügige Verbesserungen bei der Reduzierung des Druckverlusts erbrachte. Dies deutet darauf hin, dass für das primäre Ziel der Minimierung von $\Delta P$ eine einfache konische Düse mit einem gut gewählten Winkel nahezu optimal ist. Der Wert komplexer Formen könnte in der Adressierung sekundärer Ziele liegen (z.B. Kontrolle der Aufweitung, Reduzierung von Totzonen).

3. Flussratenabhängiges Design: Für viskos-dominierte Strömungen (oder bestimmte Materialien) plädieren die Ergebnisse für adaptive oder anwendungsspezifische Düsendesigns anstelle eines Einheitsansatzes, insbesondere wenn ein breites Spektrum an Druckgeschwindigkeiten angestrebt wird.

4. Technische Details & Formeln

Die Erhaltungsgleichungen für inkompressible Strömung lauten:

Massenerhaltung: $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

Impulserhaltung: $\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}$

Wobei $\mathbf{v}$ die Geschwindigkeit, $p$ der Druck, $\rho$ die Dichte und $\boldsymbol{\tau}$ der deviatorische Spannungstensor ist.

Für das viskose Modell: $\boldsymbol{\tau} = 2 \eta(\dot{\gamma}, T) \mathbf{D}$, wobei $\mathbf{D}$ der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor ist.

Für ein viskoelastisches Modell (z.B. Giesekus):
$\boldsymbol{\tau} + \lambda \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}} + \frac{\alpha_G}{\eta} (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2 \eta \mathbf{D}$
Wobei $\lambda$ die Relaxationszeit, $\alpha_G$ der Mobilitätsparameter und $\stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}}$ die ober-konvektive Ableitung ist.

5. Beispiel für das Analyse-Framework

Fallstudie: Optimierung für Hochgeschwindigkeits-PLA-Druck

Ziel: Entwurf einer Düse für den Druck von PLA mit 150 mm/s Schichtgeschwindigkeit.

Schritte:

1. Materialcharakterisierung: Beschaffung rheologischer Daten für PLA bei Drucktemperatur (z.B. 210°C), um Parameter für ein Carreau-Yasuda- (viskos) und ein Giesekus-Modell (viskoelastisch) anzupassen.
2. Basissimulation: Modellierung einer Standard-30°-Kegeldüse. Simulation mit beiden Modellen, um den Basis-$\Delta P$ und das Strömungsfeld zu ermitteln.
3. Winkelvariation (zuerst viskos): Durchlaufen des viskosen Optimierungskreislaufs, Variation von $\alpha$ von 15° bis 75°. Identifikation von $\alpha_{opt}^{visc}$ (~30-35° für hohe Geschwindigkeit).
4. Viskoelastische Validierung: Simulation der Geometrie aus Schritt 3 mit dem viskoelastischen Modell. Vergleich von $\Delta P$ und Beobachtung der vorhergesagten Extrudataufweitung.
5. Abwägungsanalyse: Wenn der viskoelastische $\Delta P$ akzeptabel ist und die Aufweitung kontrolliert wird, wird das einfache Kegeldesign übernommen. Andernfalls Initiierung einer multikriteriellen Optimierung (Minimierung von $\Delta P$ und Aufweitung) unter Verwendung des B-Spline-Rahmens.

Dieser strukturierte Ansatz priorisiert Einfachheit und modellbewusste Entscheidungsfindung.

6. Zukünftige Anwendungen & Richtungen

• Multiphysik- & Multikriterielle Optimierung: Zukünftige Arbeiten müssen Wärmeübertragung integrieren, um nicht-isotherme Strömungen zu modellieren, und die Strömungsoptimierung mit Zielen wie der Minimierung thermischer Degradation oder der Verbesserung der Schichthaftfestigkeit koppeln.
• Maschinelles Lernen-unterstütztes Design: Der Einsatz von Techniken wie neuronalen Netzen als Surrogatmodelle, ähnlich den Fortschritten in der aerodynamischen Formoptimierung (siehe Journal of Fluid Mechanics, Bd. 948, 2022), könnte die Rechenkosten für die Erkundung des durch B-Splines ermöglichten komplexen Designraums drastisch senken.
• Aktive oder Multi-Material-Düsen: Erforschung von Designs mit internen Strömungsführern oder Abschnitten aus Materialien mit unterschiedlichen thermischen Eigenschaften, um Scher- und Temperaturprofile aktiv zu steuern.
• Standardisierung von Benchmarking: Die Gemeinschaft würde von standardisierten Benchmark-Fällen für FDM-Düsenströme profitieren, ähnlich der 4:1 planaren Kontraktion für viskoelastische Strömungen, um verschiedene Modelle und Optimierungsmethoden zu vergleichen.

7. Literaturverzeichnis

1. Bird, R. B., Armstrong, R. C., & Hassager, O. (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1: Fluid Mechanics. Wiley.
2. Haleem, A., et al. (2017). Role of feed force in FDM: A review. Rapid Prototyping Journal.
3. Nzebuka, G. C., et al. (2022). CFD analysis of polymer flow in FDM nozzles. Physics of Fluids.
4. Schuller, M., et al. (2024). High-speed FDM: Challenges in feeding mechanics. Additive Manufacturing.
5. Zhu, J., et al. (2022). Deep learning for aerodynamic shape optimization. Journal of Fluid Mechanics, 948, A34. (Externe Referenz für ML in der Optimierung)
6. Open-Source-CFD-Software: OpenFOAM und FEATool für Multiphysik-Simulation.

8. Expertenanalyse: Eine kritische Perspektive