Singularitätsbewusste Bahnplanung für die mehrachsige additive Fertigung

1. Einleitung

Die mehrachsige additive Fertigung (MAAM) stellt eine bedeutende Weiterentwicklung gegenüber dem konventionellen, auf ebenen Schichten basierenden 3D-Druck dar. Durch die Ermöglichung der Materialablagerung entlang dynamisch variierender Richtungen (z.B. entlang der Oberflächennormalen) bieten MAAM-Systeme Lösungen für langjährige Probleme wie den Bedarf an Stützstrukturen, schwache Zwischenschichtfestigkeit und Treppenartefakte auf gekrümmten Oberflächen. Diese erhöhte geometrische Freiheit führt jedoch zu komplexen Herausforderungen bei der Bahnplanung, insbesondere bei der Realisierung entworfenen Werkzeugbahnen auf Hardwareplattformen, die typischerweise drei translatorische Achsen mit zwei rotatorischen Achsen kombinieren.

1.1 Problem der Bahnplanung in der MAAM

Die Kernherausforderung liegt in der nichtlinearen Abbildung zwischen dem Werkstückkoordinatensystem (WKS), in dem die Werkzeugbahn entworfen wird, und dem Maschinenkoordinatensystem (MKS), das die physikalischen Aktoren steuert. Eine glatte, gleichmäßig abgetastete Werkzeugbahn im WKS kann auf eine hochgradig unstetige Bewegung im MKS abgebildet werden, wenn sich die Werkzeugorientierung der Vertikalen nähert – eine Region, die als kinematische Singularität bekannt ist. Beim filamentbasierten additiven Fertigen unterbricht diese Unstetigkeit den stabilen Extrusionsfluss, was zu Über- oder Unterextrusion führt, die sich als Oberflächenartefakte manifestiert und die mechanische Integrität beeinträchtigt. Im Gegensatz zur CNC-Fräsung, bei der die Bewegung angehalten werden kann, erfordert die additive Fertigung eine kontinuierliche Bewegung und muss strikte Geschwindigkeitsbeschränkungen ($f_{min} \leq v_{tip} \leq f_{max}$) einhalten, die durch die physikalischen Grenzen des Extruders vorgegeben sind. Darüber hinaus muss die Kollisionsvermeidung in den Planungsprozess integriert werden.

2. Hintergrund und verwandte Arbeiten

2.1 Mehrachsige additive Fertigungssysteme

Es existieren verschiedene Hardwarekonfigurationen, darunter Systeme mit einer kipp- und drehbaren Werkstückaufnahme (z.B. 3+2 Achsen) oder einem Roboterarm (6 Freiheitsgrade). Diese Systeme ermöglichen das stützfreie Drucken von Überhängen, indem die Ablagerungsrichtung mit der Oberflächennormalen ausgerichtet wird.

2.2 Werkzeugbahn-Generierung für gekrümmte Schichten

Die Forschung hat sich auf die Generierung von nicht-ebenen, gekrümmten Schichtbahnen konzentriert, um Festigkeit und Oberflächengüte zu optimieren. Die physikalische Realisierung dieser komplexen Bahnen wird jedoch oft vernachlässigt.

2.3 Singularität in der mehrachsigen CNC-Bearbeitung

Singularität ist ein bekanntes Problem in der 5-Achsen-CNC-Bearbeitung, bei der sich die Werkzeugachse mit einer Drehachse ausrichtet und eine mathematische Unstetigkeit in der inversen kinematischen Lösung verursacht. Traditionelle CNC-Lösungen beinhalten oft die Modifikation oder Reparametrisierung der Werkzeugbahn, können jedoch aufgrund der Notwendigkeit kontinuierlicher Extrusion und begrenzter Geschwindigkeit nicht direkt auf die additive Fertigung übertragen werden.

3. Vorgeschlagene Methodik

3.1 Problemformulierung

Die Eingabe ist eine Werkzeugbahn, definiert als eine Sequenz von Wegpunkten $\mathbf{W}_i = (\mathbf{p}_i, \mathbf{n}_i)$ im WKS, wobei $\mathbf{p}_i$ die Position und $\mathbf{n}_i$ die Düsenorientierung (typischerweise die Oberflächennormale) ist. Das Ziel ist es, eine entsprechende Bewegungssequenz im MKS zu finden, $\mathbf{M}_j = (x_j, y_j, z_j, A_j, C_j)$ für eine typische 5-Achsen-Maschine (XYZAC), die:

1. Kinematische Singularitäten vermeidet oder deren Auswirkungen handhabt.
2. Die Stetigkeit beibehält, um einen ununterbrochenen Extrusionsfluss zu gewährleisten.
3. Die Düsenspitzen-Geschwindigkeit innerhalb von $[v_{min}, v_{max}]$ hält.
4. Kollisionen zwischen dem Druckkopf und dem Bauteil vermeidet.

3.2 Singularitätsbewusster Bahnplanungsalgorithmus

Die Arbeit schlägt einen Algorithmus vor, der singuläre Regionen in der Werkzeugbahn identifiziert (z.B. wo die vertikale Komponente des Normalenvektors nahe 1 ist). Anstatt Wegpunkte naiv gleichmäßig im WKS abzutasten, führt er in diesen Regionen eine adaptive Abtastung und lokale Werkzeugbahnoptimierung durch. Dies kann leichte Abweichungen in der Orientierung oder eine Neuzeitplanung der Bewegung beinhalten, um die unstetigen Sprünge in den Drehachsen ($A$, $C$) zu glätten und so plötzliche Änderungen der Düsenspitzen-Geschwindigkeit zu verhindern.

3.3 Integrierte Kollisionsvermeidung

Der Bewegungsplaner integriert einen abtastungsbasierten Kollisionsprüfer. Wenn während der Planung einer singularitätsvermeidenden Bewegung eine potenzielle Kollision erkannt wird, passt der Algorithmus iterativ die Werkzeugbahn oder die Maschinenpose an, bis eine kollisionsfreie und singularitätsbehandelte Lösung gefunden ist.

4. Technische Details und mathematische Formulierung

Die inverse Kinematik für eine typische 5-Achsen-Maschine mit einer kipp- und drehbaren Tisch (AC-Achsen am Tisch) kann ausgedrückt werden. Der Werkzeugorientierungsvektor $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ im WKS wird auf die Drehwinkel $A$ (Kippwinkel) und $C$ (Rotationswinkel) abgebildet. Eine gängige Formulierung ist:

$A = \arccos(n_z)$

$C = \operatorname{atan2}(n_y, n_x)$

Die Singularität tritt auf, wenn $n_z \approx \pm 1$ (d.h. $A \approx 0^\circ$ oder $180^\circ$), wobei $C$ undefiniert wird – eine Kardanblockade-Situation. Die Jacobi-Matrix, die Gelenkgeschwindigkeiten mit der Werkzeugspitzengeschwindigkeit in Beziehung setzt, wird hier schlecht konditioniert. Der Algorithmus der Arbeit überwacht wahrscheinlich die Konditionszahl dieser Jacobi-Matrix oder den Wert von $n_z$, um singuläre Regionen zu erkennen. Der Kern der Planung besteht darin, ein Optimierungsproblem zu lösen, das eine Kostenfunktion $J$ minimiert:

$J = \alpha J_{continuity} + \beta J_{speed} + \gamma J_{singularity} + \delta J_{collision}$

wobei $J_{continuity}$ Unstetigkeiten in der MKS-Bewegung bestraft, $J_{speed}$ die Einhaltung der Spitzengeschwindigkeitsgrenzen sicherstellt, $J_{singularity}$ die Nähe zu singulären Konfigurationen bestraft und $J_{collision}$ eine Kollisionsstrafe ist. Die Gewichte $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ balancieren diese Ziele.

5. Experimentelle Ergebnisse und Analyse

5.1 Experimenteller Aufbau

Die Methode wurde auf einem kundenspezifischen 5-Achsen-3D-Drucker (XYZ-Translation, AC-Drehtisch) validiert, der Modelle wie den Stanford Bunny mit gekrümmten Schichten fertigte.

5.2 Vergleich der Fertigungsqualität

Abbildung 1 (Referenziert aus PDF): Zeigt einen klaren visuellen Vergleich. Der mit konventioneller Planung gedruckte Hase (Abb. 1a) weist in den eingezeichneten Bereichen schwere Oberflächenartefakte (Über-/Unterextrusion) auf, die Regionen entsprechen, in denen die Oberflächennormale nahezu vertikal ist (singuläre Region). Der mit der vorgeschlagenen singularitätsbewussten Planung gedruckte Hase (Abb. 1c) zeigt in denselben Regionen deutlich glattere Oberflächen. Abb. 1b hebt die in der singulären Region befindlichen Wegpunkte visuell in Gelb hervor und demonstriert die Detektionsfähigkeit des Algorithmus.

5.3 Analyse der Bewegungsstetigkeit und -geschwindigkeit

Diagramme der Drehachsenwinkel ($A$, $C$) und der berechneten Düsenspitzen-Geschwindigkeit über der Zeit würden zeigen, dass die vorgeschlagene Methode die nahezu unstetigen Sprünge in den Drehwinkeln, die bei der konventionellen Methode beobachtet werden, glättet. Folglich bleibt die Düsenspitzen-Geschwindigkeit innerhalb des stabilen Extrusionsfensters $[v_{min}, v_{max}]$, während die konventionelle Methode Geschwindigkeitsspitzen oder -abfälle auf nahe Null verursacht, was die Extrusionsdefekte direkt erklärt.

6. Analyse-Framework: Eine Fallstudie ohne Code

Szenario: Druck eines kuppelförmigen Objekts mit einer vertikalen Symmetrieachse.
Herausforderung: Der Scheitelpunkt der Kuppel hat eine vertikale Normale ($n_z=1$) und befindet sich direkt in einer singulären Konfiguration. Eine spiralförmige Werkzeugbahn von der Basis zum Scheitelpunkt würde naiverweise dazu führen, dass die C-Achse beim Annähern an die Spitze unkontrolliert rotiert.
Anwendung der vorgeschlagenen Methode:

1. Detektion: Der Algorithmus identifiziert Wegpunkte innerhalb eines Schwellenwerts (z.B. $n_z > 0.98$) als die singuläre Region.
2. Planung: Anstatt das Werkzeug am Scheitelpunkt exakt vertikal auszurichten, kann der Planer für einige Schichten um den Scheitelpunkt herum eine leichte, kontrollierte Neigung (z.B. $A=5^\circ$) einführen. Dies hält die C-Achse wohldefiniert.
3. Optimierung: Die Werkzeugbahn in dieser Region wird neu zeitlich geplant, um sicherzustellen, dass sich die Düse mit einer konstanten, optimalen Geschwindigkeit bewegt, und die leichte geometrische Abweichung wird in der angrenzenden nicht-singulären Bahn kompensiert, um die Gesamtformtreue beizubehalten.
4. Ergebnis: Eine glatte, kontinuierliche Bewegung wird erreicht, was zu einer Kuppel mit einer gleichmäßigen Oberflächengüte am Scheitelpunkt führt, frei von Tropfen oder Lücken.

7. Anwendungsausblick und zukünftige Richtungen

• Fortschrittliche Materialien & Prozesse: Diese Planung ist entscheidend für das Drucken mit endlosfaserverstärkten Verbundwerkstoffen oder Beton, wo die Flusskontrolle noch empfindlicher auf Bewegungsunstetigkeiten reagiert.
• Integration mit generativem Design: Zukünftige CAD/CAE-Software könnte auf diesem Singularitätsmodell basierende "Fertigbarkeitsbeschränkungen" bereits in der generativen Designphase integrieren und so Designs vermeiden, die auf mehrachsigen Systemen inhärent schwer glatt zu drucken sind.
• Maschinelles Lernen für Bahnplanung: Reinforcement-Learning-Agenten könnten trainiert werden, um den komplexen Kompromissraum zwischen Singularitätsvermeidung, Geschwindigkeitserhaltung und Kollisionsvermeidung effizienter zu navigieren als traditionelle Optimierung.
• Standardisierung & Cloud-Slicing: Wenn der mehrachsige Druck zugänglicher wird, könnten cloudbasierte Slicing-Dienste singularitätsoptimierte Werkzeugbahnplanung als Premium-Funktion anbieten, ähnlich wie heute Stützstrukturen optimiert werden.

8. Referenzen

1. Ding, D., et al. (2015). A review on 5-axis CNC machining. International Journal of Machine Tools and Manufacture.
2. Chen, X., et al. (2021). Support-Free 3D Printing via Multi-Axis Motion. ACM Transactions on Graphics.
3. ISO/ASTM 52900:2021. Additive Fertigung — Allgemeine Grundsätze — Terminologie.
4. Müller, M., et al. (2022). Real-time trajectory planning for robotic additive manufacturing. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing.
5. The MathWorks, Inc. (2023). Robotics System Toolbox: Inverse Kinematics. [Online] Verfügbar: https://www.mathworks.com/help/robotics/ug/inverse-kinematics.html

9. Originalanalyse & Expertenkommentar