Optimización Numérica de la Geometría de Boquillas para Modelado por Deposición Fundida

Tabla de Contenidos

1. Introducción

El Modelado por Deposición Fundida (FDM) es una tecnología de fabricación aditiva dominante, valorada por su rentabilidad y versatilidad de materiales. Sin embargo, lograr altas velocidades de impresión sin comprometer la precisión sigue siendo un desafío importante, limitado en gran medida por las pérdidas de presión dentro de la boquilla de extrusión. Si bien la optimización de los parámetros del proceso es común, el diseño geométrico de la propia boquilla a menudo se pasa por alto, con la mayoría de los sistemas dependiendo de formas cónicas estándar. Este trabajo aborda esta brecha presentando un marco numérico para optimizar la geometría de la boquilla con el fin de minimizar la pérdida de presión, permitiendo así velocidades de impresión factibles más altas. El estudio compara críticamente dos modelos constitutivos fundamentales para el flujo de polímero fundido: un modelo viscoso dependiente de la temperatura con adelgazamiento por cizalla y un modelo viscoelástico isotérmico.

2. Metodología

2.1. Modelado del Flujo

El núcleo del análisis radica en simular el flujo no newtoniano del polímero fundido. Se emplean dos modelos:

• Modelo Viscoso: Un modelo de fluido newtoniano generalizado donde la viscosidad ($\eta$) es una función de la velocidad de cizalla ($\dot{\gamma}$) y la temperatura (T), típicamente siguiendo un modelo de Carreau o de ley de potencia: $\eta(\dot{\gamma}, T) = \eta_0(T) [1 + (\lambda \dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$. Este modelo captura el adelgazamiento por cizalla pero descarta los efectos elásticos.
• Modelo Viscoelástico: Un modelo isotérmico que tiene en cuenta la memoria del fluido y las tensiones elásticas, a menudo utilizando ecuaciones constitutivas diferenciales como los modelos de Giesekus o Phan-Thien–Tanner. Esto es crucial para predecir fenómenos como el hinchamiento del extruido.

El Método de Elementos Finitos (MEF) se utiliza para resolver las ecuaciones gobernantes (conservación de masa y momento) para estos modelos dentro del dominio de la boquilla.

2.2. Parametrización de la Forma

La forma de la boquilla se define paramétricamente para permitir la optimización:

• Parametrización Simple: El contorno de la boquilla se define por una sección convergente recta con un ángulo de apertura medio variable ($\alpha$).
• Parametrización Avanzada: El contorno se describe mediante una curva B-spline, controlada por un conjunto de puntos de control. Esto permite formas complejas no cónicas que un simple ángulo no puede representar.

2.3. Marco de Optimización

Se establece un bucle de optimización basado en gradientes. La función objetivo es la caída total de presión ($\Delta P$) desde la entrada hasta la salida de la boquilla. Las variables de diseño son el ángulo ($\alpha$) o las coordenadas de los puntos de control de la B-spline. El marco ajusta iterativamente la geometría, vuelve a mallar el dominio, vuelve a simular el flujo y calcula la sensibilidad de $\Delta P$ a las variables de diseño hasta encontrar un mínimo.

3. Resultados y Discusión

3.1. Resultados del Modelo Viscoso

Para el modelo viscoso, el ángulo de apertura medio óptimo ($\alpha_{opt}$) mostró una fuerte dependencia de la tasa de flujo volumétrico (velocidad de alimentación).

• Altas Tasas de Flujo: Favorecieron ángulos convergentes más pequeños, con $\alpha_{opt}$ cerca de 30°. Una convergencia más pronunciada a alto flujo minimiza la disipación viscosa en la región larga y estrecha de alta cizalla.
• Bajas Tasas de Flujo: Permitieron ángulos óptimos mayores (ej., 60°-70°). El flujo está menos dominado por la cizalla, y una conicidad más suave reduce los efectos de entrada.

Descripción del Gráfico: Un gráfico de $\Delta P$ vs. $\alpha$ para diferentes tasas de flujo mostraría mínimos distintos, con el punto mínimo desplazándose hacia la izquierda (a ángulos más pequeños) a medida que aumenta la tasa de flujo.

3.2. Resultados del Modelo Viscoelástico

En contraste, el modelo viscoelástico predijo una dependencia mucho más débil de $\alpha_{opt}$ respecto a la velocidad de alimentación. El ángulo óptimo se mantuvo dentro de un rango más estrecho en diferentes condiciones de flujo. Esto se atribuye a los efectos competitivos de la cizalla viscosa y las tensiones normales elásticas, que tienen sensibilidades geométricas diferentes. Las tensiones elásticas, que no son capturadas por el modelo viscoso, modifican la trayectoria de flujo óptima.

3.3. Comparación y Conclusiones Clave

1. La Elección del Modelo es Crítica: El modelo constitutivo cambia fundamentalmente el resultado de la optimización. Un diseño optimizado usando un modelo viscoso simple puede ser subóptimo para fundidos viscoelásticos reales, especialmente si el hinchamiento elástico del extruido es una preocupación para la precisión de la deposición.

2. Rendimientos Decrecientes de la Complejidad: Un hallazgo fundamental es que la parametrización avanzada con B-spline produjo solo mejoras marginales en la reducción de la pérdida de presión en comparación con la optimización simple del ángulo. Esto sugiere que, para el objetivo principal de minimizar $\Delta P$, una boquilla cónica simple con un ángulo bien elegido es casi óptima. El valor de las formas complejas puede residir en abordar objetivos secundarios (ej., controlar el hinchamiento, reducir zonas de estancamiento).

3. Diseño Dependiente de la Tasa de Flujo: Para flujos dominados por la viscosidad (o ciertos materiales), los resultados abogan por diseños de boquilla adaptativos o específicos para la aplicación en lugar de un enfoque único, especialmente cuando se apunta a un amplio rango de velocidades de impresión.

4. Detalles Técnicos y Fórmulas

Las ecuaciones gobernantes para el flujo incompresible son:

Conservación de la Masa: $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

Conservación del Momento: $\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}$

Donde $\mathbf{v}$ es la velocidad, $p$ es la presión, $\rho$ es la densidad y $\boldsymbol{\tau}$ es el tensor de tensiones desviadoras.

Para el Modelo Viscoso: $\boldsymbol{\tau} = 2 \eta(\dot{\gamma}, T) \mathbf{D}$, donde $\mathbf{D}$ es el tensor velocidad de deformación.

Para un Modelo Viscoelástico (ej., Giesekus):
$\boldsymbol{\tau} + \lambda \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}} + \frac{\alpha_G}{\eta} (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2 \eta \mathbf{D}$
Donde $\lambda$ es el tiempo de relajación, $\alpha_G$ es el parámetro de movilidad y $\stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}}$ es la derivada convectada superior.

5. Ejemplo del Marco de Análisis

Caso de Estudio: Optimización para Impresión Rápida de PLA

Objetivo: Diseñar una boquilla para imprimir PLA a 150 mm/s de velocidad de capa.

Pasos:

1. Caracterización del Material: Obtener datos reológicos del PLA a temperatura de impresión (ej., 210°C) para ajustar los parámetros tanto de un modelo Carreau-Yasuda (viscoso) como de un modelo Giesekus (viscoelástico).
2. Simulación de Referencia: Modelar una boquilla cónica estándar de 30°. Simular con ambos modelos para establecer la $\Delta P$ y el campo de flujo de referencia.
3. Barrido de Ángulo (Viscoso Primero): Ejecutar el bucle de optimización viscosa, variando $\alpha$ de 15° a 75°. Identificar $\alpha_{opt}^{visc}$ (~30-35° para alta velocidad).
4. Validación Viscoelástica: Simular la geometría del Paso 3 usando el modelo viscoelástico. Comparar $\Delta P$ y observar la predicción del hinchamiento del extruido.
5. Análisis de Compromiso: Si la $\Delta P$ viscoelástica es aceptable y el hinchamiento está controlado, adoptar el diseño cónico simple. Si no, iniciar una optimización multiobjetivo (minimizar $\Delta P$ y hinchamiento) usando el marco de B-spline.

Este enfoque estructurado prioriza la simplicidad y la toma de decisiones consciente del modelo.

6. Aplicaciones y Direcciones Futuras

• Optimización Multi-Física y Multiobjetivo: El trabajo futuro debe integrar la transferencia de calor para modelar flujos no isotérmicos y acoplar la optimización del flujo con objetivos como minimizar la degradación térmica o mejorar la resistencia de adhesión entre capas.
• Diseño Potenciado por Aprendizaje Automático: Aprovechar técnicas como redes neuronales como modelos sustitutos, similares a los avances en la optimización de formas aerodinámicas (ver Journal of Fluid Mechanics, Vol. 948, 2022), podría reducir drásticamente el coste computacional de explorar el complejo espacio de diseño habilitado por B-splines.
• Boquillas Activas o de Múltiples Materiales: Explorar diseños con guías de flujo internas o secciones hechas de materiales con diferentes propiedades térmicas para gestionar activamente los perfiles de cizalla y temperatura.
• Estandarización de la Evaluación Comparativa: La comunidad se beneficiaría de casos de referencia estandarizados para el flujo en boquillas FDM, similares a la contracción planar 4:1 para flujos viscoelásticos, para comparar diferentes modelos y métodos de optimización.

7. Referencias

1. Bird, R. B., Armstrong, R. C., & Hassager, O. (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1: Fluid Mechanics. Wiley.
2. Haleem, A., et al. (2017). Role of feed force in FDM: A review. Rapid Prototyping Journal.
3. Nzebuka, G. C., et al. (2022). CFD analysis of polymer flow in FDM nozzles. Physics of Fluids.
4. Schuller, M., et al. (2024). High-speed FDM: Challenges in feeding mechanics. Additive Manufacturing.
5. Zhu, J., et al. (2022). Deep learning for aerodynamic shape optimization. Journal of Fluid Mechanics, 948, A34. (Referencia externa para AA en optimización)
6. Software CFD de código abierto: OpenFOAM y FEATool para simulación multifísica.

8. Análisis Experto: Una Perspectiva Crítica