Planificación de Movimiento Consciente de Singularidades para Fabricación Aditiva Multi-Eje

1. Introducción

La fabricación aditiva multi-eje (MAAM) representa una evolución significativa más allá de la impresión 3D convencional basada en capas planas. Al permitir la deposición de material a lo largo de direcciones dinámicamente variables (por ejemplo, a lo largo de las normales de la superficie), los sistemas MAAM ofrecen soluciones a problemas de larga data, como la necesidad de estructuras de soporte, la baja resistencia entre capas y los artefactos de escalera en superficies curvas. Sin embargo, esta mayor libertad geométrica introduce complejos desafíos en la planificación del movimiento, particularmente al realizar trayectorias diseñadas en plataformas de hardware que típicamente combinan tres ejes de traslación con dos ejes de rotación.

1.1 Problema de la Planificación de Movimiento en MAAM

El desafío central radica en el mapeo no lineal entre el sistema de coordenadas de la pieza (WCS), donde se diseña la trayectoria, y el sistema de coordenadas de la máquina (MCS), que controla los actuadores físicos. Una trayectoria suave y muestreada uniformemente en WCS puede mapearse a un movimiento altamente discontinuo en MCS cuando la orientación de la herramienta se acerca a la vertical, una región conocida como singularidad cinemática. En la FA basada en filamento, esta discontinuidad interrumpe el flujo de extrusión estable, lo que lleva a sobre-extrusión o sub-extrusión, que se manifiesta como artefactos superficiales y compromete la integridad mecánica. A diferencia del fresado CNC, donde el movimiento puede pausarse, la FA requiere un movimiento continuo y debe adherirse a estrictas restricciones de velocidad ($f_{min} \leq v_{punta} \leq f_{max}$) dictadas por los límites físicos del extrusor. Además, la evitación de colisiones debe integrarse en el proceso de planificación.

2. Antecedentes y Trabajos Relacionados

2.1 Sistemas de Fabricación Aditiva Multi-Eje

Existen varias configuraciones de hardware, incluyendo sistemas con una mesa de trabajo basculante-giratoria (por ejemplo, 3+2 ejes) o un brazo robótico (6 GDL). Estos sistemas permiten la impresión sin soportes de voladizos al alinear la dirección de deposición con la normal de la superficie.

2.2 Generación de Trayectorias para Capas Curvas

La investigación se ha centrado en generar trayectorias de capas no planas y curvas para optimizar la resistencia y el acabado superficial. Sin embargo, la realización física de estas trayectorias complejas a menudo se pasa por alto.

2.3 Singularidad en Mecanizado CNC Multi-Eje

La singularidad es un problema bien conocido en el mecanizado CNC de 5 ejes, donde el eje de la herramienta se alinea con un eje rotativo, causando una discontinuidad matemática en la solución de la cinemática inversa. Las soluciones CNC tradicionales a menudo implican modificación o reparametrización de la trayectoria, pero no pueden aplicarse directamente a la FA debido a la necesidad de extrusión continua y velocidad acotada.

3. Metodología Propuesta

3.1 Formulación del Problema

La entrada es una trayectoria definida como una secuencia de puntos de paso $\mathbf{W}_i = (\mathbf{p}_i, \mathbf{n}_i)$ en WCS, donde $\mathbf{p}_i$ es la posición y $\mathbf{n}_i$ es la orientación de la boquilla (típicamente la normal de la superficie). El objetivo es encontrar una secuencia de movimiento correspondiente en MCS, $\mathbf{M}_j = (x_j, y_j, z_j, A_j, C_j)$ para una máquina típica de 5 ejes (XYZAC), que:

1. Evite singularidades cinemáticas o gestione sus efectos.
2. Mantenga la continuidad para garantizar una extrusión ininterrumpida.
3. Mantenga la velocidad de la punta de la boquilla dentro de $[v_{min}, v_{max}]$.
4. Evite colisiones entre el cabezal de impresión y la pieza.

3.2 Algoritmo de Planificación de Movimiento Consciente de Singularidades

El artículo propone un algoritmo que identifica regiones singulares en la trayectoria (por ejemplo, donde el componente vertical del vector normal está cerca de 1). En lugar de muestrear puntos de paso de manera uniforme e ingenua en WCS, realiza un muestreo adaptativo y una optimización local de la trayectoria en estas regiones. Esto puede implicar ligeras desviaciones en la orientación o una reprogramación temporal del movimiento para suavizar los saltos discontinuos en los ejes rotativos ($A$, $C$), evitando así cambios bruscos en la velocidad de la punta de la boquilla.

3.3 Evitación de Colisiones Integrada

El planificador de movimiento integra un verificador de colisiones basado en muestreo. Cuando se detecta una posible colisión durante la planificación de un movimiento para evitar singularidades, el algoritmo ajusta iterativamente la trayectoria o la postura de la máquina hasta encontrar una solución libre de colisiones y gestionada frente a singularidades.

4. Detalles Técnicos y Formulación Matemática

Se puede expresar la cinemática inversa para una máquina típica de 5 ejes con una mesa basculante-giratoria (ejes AC en la mesa). El vector de orientación de la herramienta $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ en WCS se mapea a los ángulos rotativos $A$ (basculación) y $C$ (rotación). Una formulación común es:

$A = \arccos(n_z)$

$C = \operatorname{atan2}(n_y, n_x)$

La singularidad ocurre cuando $n_z \approx \pm 1$ (es decir, $A \approx 0^\circ$ o $180^\circ$), donde $C$ se vuelve indefinido, una situación de bloqueo de cardán. La matriz jacobiana que relaciona las velocidades de las articulaciones con la velocidad de la punta de la herramienta se vuelve mal condicionada aquí. Es probable que el algoritmo del artículo monitoree el número de condición de este jacobiano o el valor de $n_z$ para detectar regiones singulares. El núcleo de la planificación implica resolver un problema de optimización que minimiza una función de costo $J$:

$J = \alpha J_{continuidad} + \beta J_{velocidad} + \gamma J_{singularidad} + \delta J_{colision}$

donde $J_{continuidad}$ penaliza las discontinuidades en el movimiento del MCS, $J_{velocidad}$ asegura los límites de velocidad de la punta, $J_{singularidad}$ penaliza la proximidad a configuraciones singulares y $J_{colision}$ es una penalización por colisión. Los pesos $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ equilibran estos objetivos.

5. Resultados Experimentales y Análisis

5.1 Configuración Experimental

El método se validó en una impresora 3D de 5 ejes personalizada (traslación XYZ, mesa rotativa AC) fabricando modelos como el Stanford Bunny con capas curvas.

5.2 Comparación de la Calidad de Fabricación

Figura 1 (Referenciada desde el PDF): Muestra una clara comparación visual. El conejo impreso con planificación convencional (Fig. 1a) exhibe graves artefactos superficiales (sobre-/sub-extrusión) en las regiones marcadas con círculos, correspondientes a áreas donde la normal de la superficie está cerca de la vertical (región singular). El conejo impreso con la planificación consciente de singularidades propuesta (Fig. 1c) muestra superficies significativamente más suaves en esas mismas regiones. La Fig. 1b resalta visualmente en amarillo los puntos de paso ubicados en la región singular, demostrando la capacidad de detección del algoritmo.

5.3 Análisis de Continuidad y Velocidad del Movimiento

Los gráficos de los ángulos de los ejes rotativos ($A$, $C$) y la velocidad calculada de la punta de la boquilla a lo largo del tiempo mostrarían que el método propuesto suaviza los saltos casi discontinuos en los ángulos rotativos observados en el método convencional. En consecuencia, la velocidad de la punta de la boquilla se mantiene dentro de la ventana de extrusión estable $[v_{min}, v_{max}]$, mientras que el método convencional causa picos de velocidad o caídas cercanas a cero, lo que explica directamente los defectos de extrusión.

6. Marco de Análisis: Un Caso de Estudio Sin Código

Escenario: Imprimir un objeto en forma de cúpula con un eje de simetría vertical.
Desafío: El vértice de la cúpula tiene una normal vertical ($n_z=1$), colocándolo directamente en una configuración singular. Una trayectoria en espiral desde la base hasta el vértice haría que el eje C girara de manera incontrolable al acercarse a la cima.
Aplicación del Método Propuesto:

1. Detección: El algoritmo identifica los puntos de paso dentro de un umbral (por ejemplo, $n_z > 0.98$) como la región singular.
2. Planificación: En lugar de forzar a la herramienta a apuntar exactamente verticalmente en el vértice, el planificador puede introducir una ligera inclinación controlada (por ejemplo, $A=5^\circ$) durante algunas capas alrededor del vértice. Esto mantiene el eje C bien definido.
3. Optimización: La trayectoria en esta región se reprograma temporalmente para asegurar que la boquilla se mueva a una velocidad constante y óptima, y la ligera desviación geométrica se compensa en la trayectoria adyacente no singular para mantener la fidelidad general de la forma.
4. Resultado: Se logra un movimiento suave y continuo, resultando en una cúpula con un acabado superficial consistente en el vértice, libre de bultos o huecos.

7. Perspectivas de Aplicación y Direcciones Futuras

• Materiales y Procesos Avanzados: Esta planificación es crítica para imprimir con compuestos de fibra continua o concreto, donde el control del flujo es aún más sensible a las discontinuidades del movimiento.
• Integración con Diseño Generativo: El software CAD/CAE futuro podría incorporar "restricciones de fabricabilidad" basadas en este modelo de singularidad durante la fase de diseño generativo, evitando diseños inherentemente difíciles de imprimir suavemente en sistemas multi-eje.
• Aprendizaje Automático para Planificación de Trayectorias: Se podrían entrenar agentes de aprendizaje por refuerzo para navegar el complejo espacio de compensación entre evitar singularidades, mantener la velocidad y evitar colisiones de manera más eficiente que la optimización tradicional.
• Estandarización y Corte en la Nube: A medida que la impresión multi-eje se vuelve más accesible, los servicios de corte basados en la nube podrían ofrecer planificación de trayectorias optimizada para singularidades como una función premium, similar a cómo se optimizan los soportes hoy en día.

8. Referencias

1. Ding, D., et al. (2015). A review on 5-axis CNC machining. International Journal of Machine Tools and Manufacture.
2. Chen, X., et al. (2021). Support-Free 3D Printing via Multi-Axis Motion. ACM Transactions on Graphics.
3. ISO/ASTM 52900:2021. Additive manufacturing — General principles — Terminology.
4. Müller, M., et al. (2022). Real-time trajectory planning for robotic additive manufacturing. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing.
5. The MathWorks, Inc. (2023). Robotics System Toolbox: Inverse Kinematics. [Online] Disponible: https://www.mathworks.com/help/robotics/ug/inverse-kinematics.html

9. Análisis Original y Comentario Experto