Planification de Trajectoire Consciente des Singularités pour la Fabrication Additive Multi-Axes

1. Introduction

La fabrication additive multi-axes (FAAM) représente une évolution significative par rapport à l'impression 3D conventionnelle par couches planes. En permettant le dépôt de matériau selon des directions dynamiquement variées (par exemple, le long des normales de surface), les systèmes FAAM offrent des solutions à des problèmes de longue date tels que le besoin de structures de support, la faible résistance inter-couches et les artefacts en escalier sur les surfaces courbes. Cependant, cette liberté géométrique accrue introduit des défis complexes de planification de mouvement, en particulier lors de la réalisation de trajectoires conçues sur des plateformes matérielles qui combinent typiquement trois axes de translation avec deux axes de rotation.

1.1 Problème de Planification de Mouvement en FAAM

Le défi central réside dans la correspondance non linéaire entre le système de coordonnées de la pièce (SCP), où la trajectoire est conçue, et le système de coordonnées machine (SCM), qui contrôle les actionneurs physiques. Une trajectoire lisse et uniformément échantillonnée dans le SCP peut être transformée en un mouvement très discontinu dans le SCM lorsque l'orientation de l'outil s'approche de la verticale — une région connue sous le nom de singularité cinématique. Dans la FA à filament, cette discontinuité perturbe le flux d'extrusion stable, entraînant une sur-extrusion ou une sous-extrusion, qui se manifeste par des artefacts de surface et compromet l'intégrité mécanique. Contrairement à l'usinage CNC où le mouvement peut être mis en pause, la FA nécessite un mouvement continu et doit respecter des contraintes de vitesse strictes ($f_{min} \leq v_{extrémité} \leq f_{max}$) dictées par les limites physiques de l'extrudeuse. De plus, l'évitement des collisions doit être intégré au processus de planification.

2. Contexte et Travaux Associés

2.1 Systèmes de Fabrication Additive Multi-Axes

Il existe diverses configurations matérielles, notamment des systèmes avec une table de travail à bascule et rotation (par exemple, 3+2 axes) ou un bras robotisé (6-DDL). Ces systèmes permettent l'impression sans support de surplombs en alignant la direction de dépôt avec la normale de surface.

2.2 Génération de Trajectoire pour Couches Courbes

La recherche s'est concentrée sur la génération de trajectoires non planes, en couches courbes, pour optimiser la résistance et la finition de surface. Cependant, la réalisation physique de ces chemins complexes est souvent négligée.

2.3 Singularité en Usinage CNC Multi-Axes

La singularité est un problème bien connu en usinage CNC 5 axes, où l'axe de l'outil s'aligne avec un axe rotatif, provoquant une discontinuité mathématique dans la solution de la cinématique inverse. Les solutions CNC traditionnelles impliquent souvent une modification ou une reparamétrisation de la trajectoire, mais elles ne peuvent pas être directement appliquées à la FA en raison du besoin d'une extrusion continue et d'une vitesse bornée.

3. Méthodologie Proposée

3.1 Formulation du Problème

L'entrée est une trajectoire définie comme une séquence de points de passage $\mathbf{W}_i = (\mathbf{p}_i, \mathbf{n}_i)$ dans le SCP, où $\mathbf{p}_i$ est la position et $\mathbf{n}_i$ est l'orientation de la buse (typiquement la normale de surface). L'objectif est de trouver une séquence de mouvement correspondante dans le SCM, $\mathbf{M}_j = (x_j, y_j, z_j, A_j, C_j)$ pour une machine 5 axes typique (XYZAC), qui :

1. Évite les singularités cinématiques ou gère leurs effets.
2. Maintient la continuité pour assurer une extrusion ininterrompue.
3. Garde la vitesse de l'extrémité de la buse dans l'intervalle $[v_{min}, v_{max}]$.
4. Évite les collisions entre la tête d'impression et la pièce.

3.2 Algorithme de Planification de Mouvement Conscient des Singularités

L'article propose un algorithme qui identifie les régions singulières dans la trajectoire (par exemple, où la composante verticale du vecteur normal est proche de 1). Au lieu d'échantillonner naïvement les points de passage uniformément dans le SCP, il effectue un échantillonnage adaptatif et une optimisation locale de la trajectoire dans ces régions. Cela peut impliquer de légères déviations d'orientation ou un ré-étalonnage du mouvement pour lisser les sauts discontinus dans les axes rotatifs ($A$, $C$), empêchant ainsi les changements brusques de la vitesse de l'extrémité de la buse.

3.3 Évitement de Collision Intégré

Le planificateur de mouvement intègre un vérificateur de collision basé sur l'échantillonnage. Lorsqu'une collision potentielle est détectée pendant la planification d'un mouvement évitant la singularité, l'algorithme ajuste itérativement la trajectoire ou la posture de la machine jusqu'à ce qu'une solution sans collision et gérant la singularité soit trouvée.

4. Détails Techniques et Formulation Mathématique

La cinématique inverse pour une machine 5 axes typique avec une table à bascule et rotation (axes AC sur la table) peut être exprimée. Le vecteur d'orientation de l'outil $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ dans le SCP est transformé en angles rotatifs $A$ (bascule) et $C$ (rotation). Une formulation courante est :

$A = \arccos(n_z)$

$C = \operatorname{atan2}(n_y, n_x)$

La singularité se produit lorsque $n_z \approx \pm 1$ (c'est-à-dire $A \approx 0^\circ$ ou $180^\circ$), où $C$ devient indéfini — une situation de blocage de cardan. La matrice jacobienne reliant les vitesses des articulations à la vitesse de l'extrémité de l'outil devient mal conditionnée ici. L'algorithme de l'article surveille probablement le conditionnement de cette jacobienne ou la valeur de $n_z$ pour détecter les régions singulières. Le cœur de la planification implique la résolution d'un problème d'optimisation qui minimise une fonction de coût $J$ :

$J = \alpha J_{continuité} + \beta J_{vitesse} + \gamma J_{singularité} + \delta J_{collision}$

où $J_{continuité}$ pénalise les discontinuités dans le mouvement SCM, $J_{vitesse}$ assure le respect des bornes de vitesse de l'extrémité, $J_{singularité}$ pénalise la proximité des configurations singulières, et $J_{collision}$ est une pénalité de collision. Les poids $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ équilibrent ces objectifs.

5. Résultats Expérimentaux et Analyse

5.1 Configuration Expérimentale

La méthode a été validée sur une imprimante 3D 5 axes personnalisée (translation XYZ, table rotative AC) fabriquant des modèles comme le Lapin de Stanford avec des couches courbes.

5.2 Comparaison de la Qualité de Fabrication

Figure 1 (Référencée depuis le PDF) : Montre une comparaison visuelle claire. Le lapin imprimé avec la planification conventionnelle (Fig. 1a) présente de graves artefacts de surface (sur-/sous-extrusion) dans les régions cerclées, correspondant aux zones où la normale de surface est proche de la verticale (région singulière). Le lapin imprimé avec la planification consciente des singularités proposée (Fig. 1c) montre des surfaces nettement plus lisses dans ces mêmes régions. La Fig. 1b met en évidence visuellement en jaune les points de passage situés dans la région singulière, démontrant la capacité de détection de l'algorithme.

5.3 Analyse de la Continuité et de la Vitesse du Mouvement

Les graphiques des angles des axes rotatifs ($A$, $C$) et de la vitesse calculée de l'extrémité de la buse au cours du temps montreraient que la méthode proposée lisse les sauts quasi-discontinus dans les angles rotatifs observés avec la méthode conventionnelle. Par conséquent, la vitesse de l'extrémité de la buse reste dans la fenêtre d'extrusion stable $[v_{min}, v_{max}]$, alors que la méthode conventionnelle provoque des pics de vitesse ou des chutes proches de zéro, expliquant directement les défauts d'extrusion.

6. Cadre d'Analyse : Une Étude de Cas Non-Codée

Scénario : Impression d'un objet en forme de dôme avec un axe de symétrie vertical.
Défi : Le sommet du dôme a une normale verticale ($n_z=1$), le plaçant directement dans une configuration singulière. Une trajectoire en spirale de la base au sommet provoquerait naïvement une rotation incontrôlée de l'axe C à l'approche du sommet.
Application de la Méthode Proposée :

1. Détection : L'algorithme identifie les points de passage dans un seuil (par exemple, $n_z > 0.98$) comme la région singulière.
2. Planification : Au lieu de forcer l'outil à pointer exactement à la verticale au sommet, le planificateur peut introduire une légère inclinaison contrôlée (par exemple, $A=5^\circ$) pour quelques couches autour du sommet. Cela maintient l'axe C bien défini.
3. Optimisation : La trajectoire dans cette région est ré-étalonnée pour garantir que la buse se déplace à une vitesse constante et optimale, et la légère déviation géométrique est compensée dans le chemin adjacent non singulier pour maintenir la fidélité globale de la forme.
4. Résultat : Un mouvement lisse et continu est obtenu, résultant en un dôme avec une finition de surface uniforme au sommet, sans bavures ni lacunes.

7. Perspectives d'Application et Directions Futures

• Matériaux et Procédés Avancés : Cette planification est cruciale pour l'impression avec des composites à fibres continues ou du béton, où le contrôle du flux est encore plus sensible aux discontinuités de mouvement.
• Intégration avec la Conception Générative : Les futurs logiciels CAO/IAO pourraient intégrer des "contraintes de fabricabilité" basées sur ce modèle de singularité pendant la phase de conception générative, évitant ainsi les conceptions intrinsèquement difficiles à imprimer de manière fluide sur des systèmes multi-axes.
• Apprentissage Automatique pour la Planification de Trajectoire : Des agents d'apprentissage par renforcement pourraient être entraînés à naviguer dans l'espace complexe de compromis entre l'évitement des singularités, le maintien de la vitesse et l'évitement des collisions, de manière plus efficace que l'optimisation traditionnelle.
• Standardisation et Trancheage Cloud : À mesure que l'impression multi-axes devient plus accessible, les services de trancheage basés sur le cloud pourraient proposer une planification de trajectoire optimisée pour les singularités comme fonctionnalité premium, similaire à l'optimisation des supports aujourd'hui.

8. Références

1. Ding, D., et al. (2015). A review on 5-axis CNC machining. International Journal of Machine Tools and Manufacture.
2. Chen, X., et al. (2021). Support-Free 3D Printing via Multi-Axis Motion. ACM Transactions on Graphics.
3. ISO/ASTM 52900:2021. Fabrication additive — Principes généraux — Terminologie.
4. Müller, M., et al. (2022). Real-time trajectory planning for robotic additive manufacturing. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing.
5. The MathWorks, Inc. (2023). Robotics System Toolbox: Inverse Kinematics. [En ligne] Disponible : https://www.mathworks.com/help/robotics/ug/inverse-kinematics.html

9. Analyse Originale et Commentaire d'Expert