Ottimizzazione Numerica della Geometria degli Ugelli per la Modellazione a Deposizione Fusa

Indice dei Contenuti

1. Introduzione

La Modellazione a Deposizione Fusa (FDM) è una tecnologia dominante nella produzione additiva, apprezzata per la sua economicità e versatilità dei materiali. Tuttavia, raggiungere alte velocità di stampa senza compromettere la precisione rimane una sfida significativa, limitata in gran parte dalle perdite di carico all'interno dell'ugello di estrusione. Mentre l'ottimizzazione dei parametri di processo è comune, il design geometrico dell'ugello stesso è spesso trascurato, con la maggior parte dei sistemi che si affida a forme coniche standard. Questo lavoro affronta questa lacuna presentando un framework numerico per ottimizzare la geometria dell'ugello al fine di minimizzare la perdita di carico, consentendo così velocità di stampa fattibili più elevate. Lo studio confronta criticamente due modelli costitutivi fondamentali per il flusso del polimero fuso: un modello viscoso termo-dipendente con comportamento shear-thinning e un modello viscoelastico isotermo.

2. Metodologia

2.1. Modellazione del Flusso

Il nucleo dell'analisi risiede nella simulazione del flusso non newtoniano del polimero fuso. Vengono impiegati due modelli:

• Modello Viscoso: Un modello di fluido newtoniano generalizzato in cui la viscosità ($\eta$) è una funzione del gradiente di velocità ($\dot{\gamma}$) e della temperatura (T), tipicamente seguendo un modello di Carreau o legge di potenza: $\eta(\dot{\gamma}, T) = \eta_0(T) [1 + (\lambda \dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$. Questo modello cattura il comportamento shear-thinning ma trascura gli effetti elastici.
• Modello Viscoelastico: Un modello isotermo che tiene conto della memoria del fluido e delle tensioni elastiche, spesso utilizzando equazioni costitutive differenziali come i modelli di Giesekus o Phan-Thien–Tanner. Ciò è cruciale per prevedere fenomeni come il rigonfiamento dell'estruso (extrudate swell).

Il Metodo degli Elementi Finiti (FEM) viene utilizzato per risolvere le equazioni di governo (conservazione della massa e della quantità di moto) per questi modelli all'interno del dominio dell'ugello.

2.2. Parametrizzazione della Forma

La forma dell'ugello è definita parametricamente per abilitare l'ottimizzazione:

• Parametrizzazione Semplice: Il contorno dell'ugello è definito da una sezione convergente rettilinea con un angolo di semiapertura variabile ($\alpha$).
• Parametrizzazione Avanzata: Il contorno è descritto da una curva B-spline, controllata da un insieme di punti di controllo. Ciò consente forme complesse, non coniche, che un semplice angolo non può rappresentare.

2.3. Framework di Ottimizzazione

Viene stabilito un ciclo di ottimizzazione basato sul gradiente. La funzione obiettivo è la caduta di pressione totale ($\Delta P$) dall'ingresso all'uscita dell'ugello. Le variabili di progetto sono l'angolo ($\alpha$) o le coordinate dei punti di controllo della B-spline. Il framework regola iterativamente la geometria, rigenera la mesh del dominio, risimula il flusso e calcola la sensibilità di $\Delta P$ rispetto alle variabili di progetto fino a trovare un minimo.

3. Risultati & Discussione

3.1. Risultati del Modello Viscoso

Per il modello viscoso, l'angolo di semiapertura ottimale ($\alpha_{opt}$) ha mostrato una forte dipendenza dalla portata volumetrica (velocità di alimentazione).

• Alte Portate: Hanno favorito angoli convergenti più piccoli, con $\alpha_{opt}$ vicino a 30°. Una convergenza più ripida ad alte portate minimizza la dissipazione viscosa nella regione lunga e stretta ad alto shear.
• Basse Portate: Hanno permesso angoli ottimali più ampi (es. 60°-70°). Il flusso è meno dominato dallo shear, e un restringimento più dolce riduce gli effetti di ingresso.

Descrizione Grafico: Un grafico di $\Delta P$ vs. $\alpha$ per diverse portate mostrerebbe minimi distinti, con il punto di minimo che si sposta verso sinistra (verso angoli più piccoli) all'aumentare della portata.

3.2. Risultati del Modello Viscoelastico

Al contrario, il modello viscoelastico ha predetto una dipendenza molto più debole di $\alpha_{opt}$ dalla velocità di alimentazione. L'angolo ottimale è rimasto entro una banda più stretta attraverso diverse condizioni di flusso. Ciò è attribuito agli effetti contrastanti dello shear viscoso e delle tensioni normali elastiche, che hanno sensibilità geometriche diverse. Le tensioni elastiche, non catturate dal modello viscoso, modificano il percorso di flusso ottimale.

3.3. Confronto & Principali Insight

1. La Scelta del Modello è Critica: Il modello costitutivo cambia fondamentalmente il risultato dell'ottimizzazione. Un design ottimizzato utilizzando un semplice modello viscoso potrebbe essere sub-ottimale per fusi viscoelastici reali, specialmente se il rigonfiamento elastico dell'estruso è una preoccupazione per l'accuratezza del deposito.

2. Rendimenti Decrescenti della Complessità: Una scoperta fondamentale è che la parametrizzazione avanzata con B-spline ha prodotto solo miglioramenti marginali nella riduzione della perdita di carico rispetto all'ottimizzazione con angolo semplice. Ciò suggerisce che, per l'obiettivo primario di minimizzare $\Delta P$, un ugello conico semplice con un angolo ben scelto è quasi ottimale. Il valore delle forme complesse potrebbe risiedere nell'affrontare obiettivi secondari (es. controllare il rigonfiamento, ridurre le zone di ristagno).

3. Design Dipendente dalla Portata: Per flussi dominati dalla viscosità (o certi materiali), i risultati sostengono design di ugelli adattivi o specifici per l'applicazione piuttosto che un approccio universale, specialmente quando si punta a un'ampia gamma di velocità di stampa.

4. Dettagli Tecnici & Formule

Le equazioni di governo per il flusso incomprimibile sono:

Conservazione della Massa: $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

Conservazione della Quantità di Moto: $\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}$

Dove $\mathbf{v}$ è la velocità, $p$ è la pressione, $\rho$ è la densità e $\boldsymbol{\tau}$ è il tensore degli sforzi deviatorico.

Per il Modello Viscoso: $\boldsymbol{\tau} = 2 \eta(\dot{\gamma}, T) \mathbf{D}$, dove $\mathbf{D}$ è il tensore velocità di deformazione.

Per un Modello Viscoelastico (es. Giesekus):
$\boldsymbol{\tau} + \lambda \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}} + \frac{\alpha_G}{\eta} (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2 \eta \mathbf{D}$
Dove $\lambda$ è il tempo di rilassamento, $\alpha_G$ è il parametro di mobilità e $\stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}}$ è la derivata convettiva superiore.

5. Esempio di Framework di Analisi

Case Study: Ottimizzazione per Stampa PLA ad Alta Velocità

Obiettivo: Progettare un ugello per stampare PLA a 150 mm/s di velocità di strato.

Passaggi:

1. Caratterizzazione del Materiale: Ottenere dati reologici per il PLA alla temperatura di stampa (es. 210°C) per adattare i parametri sia per un modello Carreau-Yasuda (viscoso) che per un modello Giesekus (viscoelastico).
2. Simulazione di Base: Modellare un ugello conico standard di 30°. Simulare con entrambi i modelli per stabilire il $\Delta P$ di base e il campo di flusso.
3. Scansione dell'Angolo (Prima Viscoso): Eseguire il ciclo di ottimizzazione viscoso, variando $\alpha$ da 15° a 75°. Identificare $\alpha_{opt}^{visc}$ (~30-35° per alta velocità).
4. Validazione Viscoelastica: Simulare la geometria del Passaggio 3 utilizzando il modello viscoelastico. Confrontare $\Delta P$ e osservare la previsione del rigonfiamento dell'estruso.
5. Analisi dei Compromessi: Se il $\Delta P$ viscoelastico è accettabile e il rigonfiamento è controllato, adottare il design conico semplice. In caso contrario, avviare un'ottimizzazione multi-obiettivo (minimizzare $\Delta P$ e rigonfiamento) utilizzando il framework B-spline.

Questo approccio strutturato dà priorità alla semplicità e al processo decisionale consapevole del modello.

6. Applicazioni Future & Direzioni

• Ottimizzazione Multi-Fisica & Multi-Obiettivo: Il lavoro futuro deve integrare il trasferimento di calore per modellare flussi non isotermi e accoppiare l'ottimizzazione del flusso con obiettivi come minimizzare la degradazione termica o migliorare la resistenza dell'adesione tra strati.
• Design Aumentato dal Machine Learning: Sfruttare tecniche come le reti neurali come modelli surrogati, simili ai progressi nell'ottimizzazione della forma aerodinamica (vedi Journal of Fluid Mechanics, Vol. 948, 2022), potrebbe ridurre drasticamente il costo computazionale dell'esplorazione dello spazio di progetto complesso abilitato dalle B-spline.
• Ugelli Attivi o Multi-Materiale: Esplorare design con guide di flusso interne o sezioni realizzate con materiali con diverse proprietà termiche per gestire attivamente i profili di shear e temperatura.
• Standardizzazione del Benchmarking: La comunità trarrebbe beneficio da casi di benchmark standardizzati per il flusso negli ugelli FDM, simili alla contrazione planare 4:1 per flussi viscoelastici, per confrontare diversi modelli e metodi di ottimizzazione.

7. Riferimenti

1. Bird, R. B., Armstrong, R. C., & Hassager, O. (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1: Fluid Mechanics. Wiley.
2. Haleem, A., et al. (2017). Role of feed force in FDM: A review. Rapid Prototyping Journal.
3. Nzebuka, G. C., et al. (2022). CFD analysis of polymer flow in FDM nozzles. Physics of Fluids.
4. Schuller, M., et al. (2024). High-speed FDM: Challenges in feeding mechanics. Additive Manufacturing.
5. Zhu, J., et al. (2022). Deep learning for aerodynamic shape optimization. Journal of Fluid Mechanics, 948, A34. (Riferimento esterno per il ML nell'ottimizzazione)
6. Software CFD open-source: OpenFOAM e FEATool per la simulazione multifisica.

8. Analisi Esperta: Una Prospettiva Critica