FDM 노즐 형상의 수치적 최적화

목차

1. 서론

FDM(Fused Deposition Modeling)은 비용 효율성과 재료 다양성으로 인해 널리 사용되는 적층 제조 기술입니다. 그러나 정밀도를 저하시키지 않고 높은 출력 속도를 달성하는 것은 여전히 큰 과제이며, 이는 주로 압출 노즐 내부의 압력 손실에 의해 제약을 받습니다. 공정 매개변수 최적화는 일반적이지만, 노즐 자체의 기하학적 설계는 종종 간과되며, 대부분의 시스템은 표준 원추형 형상에 의존합니다. 본 연구는 압력 손실을 최소화하여 실현 가능한 더 높은 출력 속도를 가능하게 하는 노즐 형상 최적화를 위한 수치적 프레임워크를 제시함으로써 이 격차를 해소합니다. 이 연구는 폴리머 용융물 유동에 대한 두 가지 기본 구성 모델, 즉 온도 의존적 전단박화 점성 모델과 등온 점탄성 모델을 비판적으로 비교합니다.

2. 방법론

2.1. 유동 모델링

분석의 핵심은 폴리머 용융물의 비뉴턴 유동을 시뮬레이션하는 데 있습니다. 두 가지 모델이 사용됩니다:

• 점성 모델: 점도($\eta$)가 전단율($\dot{\gamma}$)과 온도(T)의 함수인 일반화된 뉴턴 유체 모델로, 일반적으로 Carreau 또는 멱법칙 모델을 따릅니다: $\eta(\dot{\gamma}, T) = \eta_0(T) [1 + (\lambda \dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$. 이 모델은 전단박화 현상을 포착하지만 탄성 효과는 무시합니다.
• 점탄성 모델: 유체의 기억 효과와 탄성 응력을 고려하는 등온 모델로, 종종 Giesekus 또는 Phan-Thien–Tanner 모델과 같은 미분 구성 방정식을 사용합니다. 이는 압출물 팽창과 같은 현상을 예측하는 데 중요합니다.

유한 요소법(FEM)은 노즐 영역 내에서 이러한 모델에 대한 지배 방정식(질량 및 운동량 보존)을 푸는 데 사용됩니다.

2.2. 형상 파라미터화

노즐 형상은 최적화를 위해 파라미터적으로 정의됩니다:

• 단순 파라미터화: 노즐 윤곽선은 가변 반개방각($\alpha$)을 가진 직선 수렴부로 정의됩니다.
• 고급 파라미터화: 윤곽선은 B-스플라인 곡선으로 설명되며, 일련의 제어점에 의해 조절됩니다. 이를 통해 단순한 각도로는 표현할 수 없는 복잡한 비원추형 형상이 가능해집니다.

2.3. 최적화 프레임워크

기울기 기반 최적화 루프가 설정됩니다. 목적 함수는 노즐 입구에서 출구까지의 총 압력 강하($\Delta P$)입니다. 설계 변수는 각도($\alpha$) 또는 B-스플라인 제어점 좌표입니다. 이 프레임워크는 형상을 반복적으로 조정하고, 영역을 재메싱하며, 유동을 재시뮬레이션하고, $\Delta P$의 설계 변수에 대한 민감도를 계산하여 최소값을 찾을 때까지 반복합니다.

3. 결과 및 논의

3.1. 점성 모델 결과

점성 모델의 경우, 최적 반개방각($\alpha_{opt}$)은 체적 유량(공급 속도)에 강한 의존성을 보였습니다.

• 높은 유량: 더 작은 수렴각을 선호하며, $\alpha_{opt}$는 30° 근처입니다. 높은 유량에서 급격한 수렴은 높은 전단이 발생하는 길고 좁은 영역에서의 점성 소산을 최소화합니다.
• 낮은 유량: 더 큰 최적 각도(예: 60°-70°)가 허용됩니다. 유동이 전단에 덜 지배되며, 완만한 테이퍼는 입구 효과를 줄입니다.

차트 설명: 다양한 유량에 대한 $\Delta P$ 대 $\alpha$ 그래프는 뚜렷한 최소점을 보여주며, 유량이 증가함에 따라 최소점이 왼쪽(더 작은 각도로) 이동합니다.

3.2. 점탄성 모델 결과

반대로, 점탄성 모델은 $\alpha_{opt}$의 공급 속도에 대한 의존성이 훨씬 약하다고 예측했습니다. 최적 각도는 다양한 유동 조건에서 더 좁은 범위 내에 머물렀습니다. 이는 점성 전단 응력과 탄성 법선 응력의 경쟁적 효과에 기인하며, 이들은 서로 다른 기하학적 민감도를 가집니다. 점성 모델이 포착하지 못하는 탄성 응력이 최적 유동 경로를 수정합니다.

3.3. 비교 및 핵심 통찰

1. 모델 선택이 중요합니다: 구성 모델은 최적화 결과를 근본적으로 바꿉니다. 단순 점성 모델을 사용하여 최적화된 설계는 실제 점탄성 용융물에 대해 차선책일 수 있으며, 특히 탄성 압출물 팽창이 적층 정밀도에 문제가 될 경우 더욱 그렇습니다.

2. 복잡성에 대한 수익 체감: 중요한 발견은 고급 B-스플라인 파라미터화가 단순 각도 최적화에 비해 압력 손실 감소에서 미미한 개선만을 가져왔다는 점입니다. 이는 $\Delta P$ 최소화라는 주요 목표에 대해서는, 잘 선택된 각도를 가진 단순한 원추형 노즐이 거의 최적에 가깝다는 것을 시사합니다. 복잡한 형상의 가치는 부차적 목표(예: 팽창 제어, 정체 영역 감소)를 해결하는 데 있을 수 있습니다.

3. 유량 의존적 설계: 점성 지배적 유동(또는 특정 재료)의 경우, 결과는 특히 광범위한 출력 속도를 목표로 할 때, '일반적' 접근법보다는 적응형 또는 응용 분야 특화 노즐 설계를 지지합니다.

4. 기술적 세부사항

비압축성 유동에 대한 지배 방정식은 다음과 같습니다:

질량 보존: $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

운동량 보존: $\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}$

여기서 $\mathbf{v}$는 속도, $p$는 압력, $\rho$는 밀도, $\boldsymbol{\tau}$는 편차 응력 텐서입니다.

점성 모델의 경우: $\boldsymbol{\tau} = 2 \eta(\dot{\gamma}, T) \mathbf{D}$, 여기서 $\mathbf{D}$는 변형률 속도 텐서입니다.

점탄성 모델(예: Giesekus)의 경우:
$\boldsymbol{\tau} + \lambda \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}} + \frac{\alpha_G}{\eta} (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2 \eta \mathbf{D}$
여기서 $\lambda$는 이완 시간, $\alpha_G$는 이동도 매개변수, $\stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}}$는 상위 대류 도함수입니다.

5. 분석 프레임워크 예시

사례 연구: 고속 PLA 출력을 위한 최적화

목표: 150 mm/s 층 속도로 PLA를 출력하기 위한 노즐 설계.

단계:

1. 재료 특성화: 출력 온도(예: 210°C)에서 PLA에 대한 유변학적 데이터를 획득하여 Carreau-Yasuda(점성) 및 Giesekus(점탄성) 모델의 매개변수를 맞춥니다.
2. 기준 시뮬레이션: 표준 30° 원추형 노즐을 모델링합니다. 두 모델로 시뮬레이션하여 기준 $\Delta P$ 및 유동장을 설정합니다.
3. 각도 스윕(점성 먼저): 점성 최적화 루프를 실행하여 $\alpha$를 15°에서 75°까지 변화시킵니다. 고속에 대한 $\alpha_{opt}^{visc}$(~30-35°)를 식별합니다.
4. 점탄성 검증: 3단계의 형상을 점탄성 모델을 사용하여 시뮬레이션합니다. $\Delta P$를 비교하고 압출물 팽창 예측을 관찰합니다.
5. 트레이드오프 분석: 점탄성 $\Delta P$가 허용 가능하고 팽창이 제어된다면, 단순 원추형 설계를 채택합니다. 그렇지 않다면, B-스플라인 프레임워크를 사용하여 다중 목적 최적화($\Delta P$ 및 팽창 최소화)를 시작합니다.

이 구조화된 접근 방식은 단순성과 모델 인식 의사 결정을 우선시합니다.

6. 향후 적용 및 방향

• 다중 물리 및 다중 목적 최적화: 향후 연구는 비등온 유동을 모델링하기 위해 열전달을 통합하고, 열분해 최소화 또는 층간 접착 강도 향상과 같은 목표와 유동 최적화를 결합해야 합니다.
• 머신러닝 강화 설계: 신경망과 같은 기법을 대리 모델로 활용하는 것은(예: 공기역학 형상 최적화의 발전과 유사, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 948, 2022 참조) B-스플라인으로 가능해진 복잡한 설계 공간 탐색의 계산 비용을 극적으로 줄일 수 있습니다.
• 능동형 또는 다중 재질 노즐: 내부 유동 가이드 또는 서로 다른 열적 특성을 가진 재료로 만들어진 부분을 가진 설계를 탐구하여 전단 및 온도 프로파일을 능동적으로 관리합니다.
• 벤치마킹 표준화: FDM 노즐 유동에 대한 표준화된 벤치마크 케이스(점탄성 유동에 대한 4:1 평면 수축과 유사)를 마련하면, 서로 다른 모델과 최적화 방법을 비교하는 데 커뮤니티가 혜택을 볼 수 있습니다.

7. 참고문헌

1. Bird, R. B., Armstrong, R. C., & Hassager, O. (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1: Fluid Mechanics. Wiley.
2. Haleem, A., et al. (2017). Role of feed force in FDM: A review. Rapid Prototyping Journal.
3. Nzebuka, G. C., et al. (2022). CFD analysis of polymer flow in FDM nozzles. Physics of Fluids.
4. Schuller, M., et al. (2024). High-speed FDM: Challenges in feeding mechanics. Additive Manufacturing.
5. Zhu, J., et al. (2022). Deep learning for aerodynamic shape optimization. Journal of Fluid Mechanics, 948, A34. (최적화에서 ML에 대한 외부 참조)
6. 오픈소스 CFD 소프트웨어: OpenFOAM 및 FEATool (다중물리 시뮬레이션용).

8. 전문가 분석: 비판적 관점