Численная оптимизация формы сопел для моделирования методом послойного наплавления (FDM)

Содержание

1. Введение

Моделирование методом послойного наплавления (FDM) является доминирующей технологией аддитивного производства, ценимой за свою экономическую эффективность и универсальность материалов. Однако достижение высоких скоростей печати без ущерба для точности остаётся серьёзной проблемой, во многом ограничиваемой потерями давления в экструзионном сопле. Хотя оптимизация параметров процесса является обычной практикой, геометрическому дизайну самого сопла часто не уделяется должного внимания, и большинство систем полагается на стандартные конические формы. Данная работа восполняет этот пробел, представляя численный фреймворк для оптимизации геометрии сопла с целью минимизации потерь давления, что позволяет достичь более высоких реализуемых скоростей печати. В исследовании проводится критическое сравнение двух фундаментальных конститутивных моделей течения полимерного расплава: зависящей от температуры вязкой модели с псевдопластичностью и изотермической вязкоупругой модели.

2. Методология

2.1. Моделирование течения

Основой анализа является моделирование неньютоновского течения полимерного расплава. Используются две модели:

• Вязкая модель: Модель обобщённой ньютоновской жидкости, в которой вязкость ($\eta$) является функцией скорости сдвига ($\dot{\gamma}$) и температуры (T), обычно следующая модели Карро или степенному закону: $\eta(\dot{\gamma}, T) = \eta_0(T) [1 + (\lambda \dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$. Эта модель учитывает псевдопластичность, но пренебрегает упругими эффектами.
• Вязкоупругая модель: Изотермическая модель, учитывающая память жидкости и упругие напряжения, часто использующая дифференциальные конститутивные уравнения, такие как модели Гизекуса или Фан-Тьена–Таннера. Это важно для прогнозирования таких явлений, как разбухание экструдата.

Для решения управляющих уравнений (законов сохранения массы и импульса) для этих моделей в области сопла используется метод конечных элементов (МКЭ).

2.2. Параметризация формы

Форма сопла задаётся параметрически для возможности оптимизации:

• Простая параметризация: Контур сопла определяется прямолинейной сходящейся секцией с переменным половинным углом раскрытия ($\alpha$).
• Продвинутая параметризация: Контур описывается B-сплайном, управляемым набором контрольных точек. Это позволяет создавать сложные, неконические формы, которые невозможно представить простым углом.

2.3. Фреймворк оптимизации

Создан градиентный оптимизационный цикл. Целевой функцией является полная разность давлений ($\Delta P$) от входа до выхода сопла. Переменными проектирования являются угол ($\alpha$) или координаты контрольных точек B-сплайна. Фреймворк итеративно корректирует геометрию, перестраивает сетку, повторно моделирует течение и вычисляет чувствительность $\Delta P$ к переменным проектирования до нахождения минимума.

3. Результаты и обсуждение

3.1. Результаты для вязкой модели

Для вязкой модели оптимальный половинный угол раскрытия ($\alpha_{opt}$) показал сильную зависимость от объёмной скорости потока (скорости подачи).

• Высокие скорости потока: Предпочтительны меньшие углы конвергенции, с $\alpha_{opt}$ около 30°. Более крутая конвергенция при высоком потоке минимизирует вязкую диссипацию в длинной узкой области высокого сдвига.
• Низкие скорости потока: Допускают большие оптимальные углы (например, 60°–70°). Течение менее зависит от сдвига, и более плавный конус уменьшает входные эффекты.

Описание графика: График зависимости $\Delta P$ от $\alpha$ для разных скоростей потока показал бы различные минимумы, причём точка минимума смещается влево (к меньшим углам) с увеличением скорости потока.

3.2. Результаты для вязкоупругой модели

В отличие от этого, вязкоупругая модель предсказала гораздо более слабую зависимость $\alpha_{opt}$ от скорости подачи. Оптимальный угол оставался в более узком диапазоне при различных условиях потока. Это объясняется конкурирующими эффектами вязкого сдвига и упругих нормальных напряжений, которые имеют разную геометрическую чувствительность. Упругие напряжения, не учитываемые вязкой моделью, изменяют оптимальный путь течения.

3.3. Сравнение и ключевые выводы

1. Выбор модели критически важен: Конститутивная модель фундаментально меняет результат оптимизации. Конструкция, оптимизированная с использованием простой вязкой модели, может быть неоптимальной для реальных вязкоупругих расплавов, особенно если упругое разбухание экструдата важно для точности укладки.

2. Убывающая отдача от сложности: Ключевой вывод заключается в том, что продвинутая параметризация B-сплайном дала лишь незначительные улучшения в снижении потерь давления по сравнению с простой оптимизацией угла. Это говорит о том, что для основной цели минимизации $\Delta P$ простое коническое сопло с правильно выбранным углом является почти оптимальным. Ценность сложных форм может заключаться в решении второстепенных задач (например, управление разбуханием, уменьшение зон застоя).

3. Зависящий от скорости потока дизайн: Для течений с доминирующей вязкостью (или определённых материалов) результаты указывают на необходимость адаптивных или специализированных конструкций сопел, а не универсального подхода, особенно при нацеливании на широкий диапазон скоростей печати.

4. Технические детали и формулы

Управляющие уравнения для несжимаемого течения:

Сохранение массы: $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

Сохранение импульса: $\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}$

Где $\mathbf{v}$ — скорость, $p$ — давление, $\rho$ — плотность, а $\boldsymbol{\tau}$ — девиаторный тензор напряжений.

Для вязкой модели: $\boldsymbol{\tau} = 2 \eta(\dot{\gamma}, T) \mathbf{D}$, где $\mathbf{D}$ — тензор скорости деформации.

Для вязкоупругой модели (например, Гизекуса):
$\boldsymbol{\tau} + \lambda \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}} + \frac{\alpha_G}{\eta} (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2 \eta \mathbf{D}$
Где $\lambda$ — время релаксации, $\alpha_G$ — параметр подвижности, а $\stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}}$ — верхнеконвективная производная.

5. Пример фреймворка анализа

Кейс: Оптимизация для высокоскоростной печати PLA

Цель: Спроектировать сопло для печати PLA со скоростью нанесения слоя 150 мм/с.

Шаги:

1. Характеризация материала: Получить реологические данные для PLA при температуре печати (например, 210°C) для подбора параметров как для модели Карро-Ясуды (вязкая), так и для модели Гизекуса (вязкоупругая).
2. Базовое моделирование: Смоделировать стандартное коническое сопло с углом 30°. Провести моделирование с обеими моделями для определения базового $\Delta P$ и поля течения.
3. Перебор углов (сначала вязкая модель): Запустить цикл вязкой оптимизации, изменяя $\alpha$ от 15° до 75°. Определить $\alpha_{opt}^{visc}$ (~30–35° для высокой скорости).
4. Верификация вязкоупругой моделью: Смоделировать геометрию из шага 3 с использованием вязкоупругой модели. Сравнить $\Delta P$ и наблюдать прогноз разбухания экструдата.
5. Анализ компромиссов: Если $\Delta P$ по вязкоупругой модели приемлем и разбухание контролируется, принять простую коническую конструкцию. Если нет, начать многоцелевую оптимизацию (минимизация $\Delta P$ и разбухания) с использованием фреймворка B-сплайнов.

Такой структурированный подход отдаёт приоритет простоте и принятию решений с учётом модели.

6. Будущие применения и направления

• Мультифизическая и многоцелевая оптимизация: Будущие работы должны интегрировать теплопередачу для моделирования неизотермических течений и связать оптимизацию течения с такими целями, как минимизация термической деградации или повышение прочности сцепления слоёв.
• Дизайн с использованием машинного обучения: Использование таких методов, как нейронные сети в качестве суррогатных моделей, аналогично достижениям в оптимизации аэродинамических форм (см. Journal of Fluid Mechanics, Vol. 948, 2022), может кардинально снизить вычислительные затраты на исследование сложного пространства проектирования, доступного с B-сплайнами.
• Активные или многокомпонентные сопла: Исследование конструкций с внутренними направляющими потока или секциями из материалов с разными тепловыми свойствами для активного управления профилями сдвига и температуры.
• Стандартизация тестирования: Сообществу будет полезно иметь стандартные тестовые случаи для течения в соплах FDM, аналогичные плоскому сужению 4:1 для вязкоупругих течений, для сравнения различных моделей и методов оптимизации.

7. Список литературы

1. Bird, R. B., Armstrong, R. C., & Hassager, O. (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1: Fluid Mechanics. Wiley.
2. Haleem, A., et al. (2017). Role of feed force in FDM: A review. Rapid Prototyping Journal.
3. Nzebuka, G. C., et al. (2022). CFD analysis of polymer flow in FDM nozzles. Physics of Fluids.
4. Schuller, M., et al. (2024). High-speed FDM: Challenges in feeding mechanics. Additive Manufacturing.
5. Zhu, J., et al. (2022). Deep learning for aerodynamic shape optimization. Journal of Fluid Mechanics, 948, A34. (Внешняя ссылка на ML в оптимизации)
6. Программное обеспечение CFD с открытым исходным кодом: OpenFOAM и FEATool для мультифизического моделирования.

8. Экспертный анализ: Критическая перспектива