Планирование движения с учетом сингулярностей для многокоординатной аддитивной технологии

1. Введение

Многокоординатная аддитивная технология (МААМ) представляет собой значительный шаг вперед по сравнению с традиционной 3D-печатью на основе плоских слоев. Благодаря возможности нанесения материала по динамически меняющимся направлениям (например, по нормалям к поверхности), системы МААМ предлагают решения давних проблем, таких как необходимость опорных структур, низкая межслойная прочность и ступенчатые артефакты на криволинейных поверхностях. Однако эта возросшая геометрическая свобода вносит сложные задачи планирования движения, особенно при реализации спроектированных траекторий на аппаратных платформах, которые обычно сочетают три поступательные оси с двумя вращательными.

1.1 Проблема планирования движения в МААМ

Основная сложность заключается в нелинейном соответствии между системой координат детали (СКД), в которой проектируется траектория, и системой координат станка (СКС), которая управляет физическими приводами. Плавная, равномерно дискретизированная траектория в СКД может быть преобразована в сильно разрывное движение в СКС, когда ориентация инструмента приближается к вертикали — область, известная как кинематическая сингулярность. В аддитивном производстве на основе филамента этот разрыв нарушает стабильный поток экструзии, приводя к пере- или недоподаче материала, что проявляется в виде артефактов на поверхности и снижает механическую целостность. В отличие от фрезерования на ЧПУ, где движение можно приостановить, аддитивное производство требует непрерывного движения и должно соблюдать строгие ограничения по скорости ($f_{min} \leq v_{tip} \leq f_{max}$), обусловленные физическими пределами экструдера. Кроме того, предотвращение столкновений должно быть интегрировано в процесс планирования.

2. Предпосылки и связанные работы

2.1 Системы многокоординатной аддитивной технологии

Существуют различные аппаратные конфигурации, включая системы с наклонно-поворотным столом (например, 3+2 оси) или роботизированным манипулятором (6 степеней свободы). Эти системы позволяют осуществлять печать свесов без поддержек за счет совмещения направления нанесения с нормалью к поверхности.

2.2 Генерация траекторий для криволинейных слоев

Исследования были сосредоточены на генерации неплоских траекторий для криволинейных слоев с целью оптимизации прочности и качества поверхности. Однако физическая реализация этих сложных путей часто упускается из виду.

2.3 Сингулярность в многокоординатной обработке на станках с ЧПУ

Сингулярность — хорошо известная проблема в 5-осевой обработке на ЧПУ, где ось инструмента совпадает с вращательной осью, вызывая математический разрыв в решении обратной кинематической задачи. Традиционные решения для ЧПУ часто включают модификацию или перепараметризацию траектории, но они не могут быть напрямую применены к аддитивному производству из-за необходимости непрерывной экструзии и ограниченной скорости.

3. Предлагаемая методология

3.1 Постановка задачи

Входными данными является траектория, определенная как последовательность точек пути $\mathbf{W}_i = (\mathbf{p}_i, \mathbf{n}_i)$ в СКД, где $\mathbf{p}_i$ — позиция, а $\mathbf{n}_i$ — ориентация сопла (обычно нормаль к поверхности). Цель — найти соответствующую последовательность движений в СКС, $\mathbf{M}_j = (x_j, y_j, z_j, A_j, C_j)$ для типичного 5-осевого станка (XYZAC), которая:

1. Избегает кинематических сингулярностей или управляет их эффектами.
2. Поддерживает непрерывность для обеспечения бесперебойной экструзии.
3. Сохраняет скорость наконечника сопла в пределах $[v_{min}, v_{max}]$.
4. Избегает столкновений между печатающей головкой и деталью.

3.2 Алгоритм планирования движения с учетом сингулярностей

В статье предлагается алгоритм, который идентифицирует сингулярные области в траектории (например, где вертикальная составляющая вектора нормали близка к 1). Вместо наивного равномерного дискретирования точек пути в СКД, он выполняет адаптивную дискретизацию и локальную оптимизацию траектории в этих областях. Это может включать небольшие отклонения в ориентации или изменение временного графика движения для сглаживания разрывных скачков во вращательных осях ($A$, $C$), тем самым предотвращая резкие изменения скорости наконечника сопла.

3.3 Интегрированное предотвращение столкновений

Планировщик движения интегрирует проверку на столкновения на основе выборки. Когда во время планирования движения, избегающего сингулярности, обнаруживается потенциальное столкновение, алгоритм итеративно корректирует траекторию или позу станка до тех пор, пока не будет найдено решение, свободное от столкновений и управляющее сингулярностями.

4. Технические детали и математическая формулировка

Обратная кинематика для типичного 5-осевого станка с наклонно-поворотным столом (оси AC на столе) может быть выражена. Вектор ориентации инструмента $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ в СКД преобразуется в углы поворота $A$ (наклон) и $C$ (вращение). Распространенная формулировка:

$A = \arccos(n_z)$

$C = \operatorname{atan2}(n_y, n_x)$

Сингулярность возникает, когда $n_z \approx \pm 1$ (т.е. $A \approx 0^\circ$ или $180^\circ$), где $C$ становится неопределенным — ситуация блокировки карданова подвеса. Матрица Якоби, связывающая скорости сочленений со скоростью наконечника инструмента, становится плохо обусловленной. Алгоритм статьи, вероятно, отслеживает число обусловленности этой матрицы Якоби или значение $n_z$ для обнаружения сингулярных областей. Суть планирования заключается в решении задачи оптимизации, минимизирующей целевую функцию $J$:

$J = \alpha J_{continuity} + \beta J_{speed} + \gamma J_{singularity} + \delta J_{collision}$

где $J_{continuity}$ штрафует разрывы в движении СКС, $J_{speed}$ обеспечивает соблюдение границ скорости наконечника, $J_{singularity}$ штрафует близость к сингулярным конфигурациям, а $J_{collision}$ — штраф за столкновение. Веса $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ балансируют эти цели.

5. Экспериментальные результаты и анализ

5.1 Экспериментальная установка

Метод был проверен на пользовательском 5-осевом 3D-принтере (поступательные оси XYZ, поворотный стол AC) при изготовлении таких моделей, как Stanford Bunny с криволинейными слоями.

5.2 Сравнение качества изготовления

Рисунок 1 (Ссылка на PDF): Показывает четкое визуальное сравнение. Кролик, напечатанный с использованием традиционного планирования (Рис. 1a), демонстрирует серьезные артефакты поверхности (пере-/недоподача) в областях, обведенных кружками, что соответствует областям, где нормаль к поверхности близка к вертикали (сингулярная область). Кролик, напечатанный с использованием предлагаемого планирования с учетом сингулярностей (Рис. 1c), показывает значительно более гладкие поверхности в тех же областях. Рис. 1b визуально выделяет желтым цветом точки пути, расположенные в сингулярной области, демонстрируя способность алгоритма к обнаружению.

5.3 Анализ непрерывности движения и скорости

Графики углов вращательных осей ($A$, $C$) и рассчитанной скорости наконечника сопла во времени показали бы, что предлагаемый метод сглаживает почти разрывные скачки во вращательных углах, наблюдаемые при традиционном методе. Следовательно, скорость наконечника сопла остается в пределах стабильного окна экструзии $[v_{min}, v_{max}]$, тогда как традиционный метод вызывает скачки скорости или падения почти до нуля, что напрямую объясняет дефекты экструзии.

6. Аналитическая структура: Практический пример без кода

Сценарий: Печать куполообразного объекта с вертикальной осью симметрии.
Задача: Вершина купола имеет вертикальную нормаль ($n_z=1$), что помещает его непосредственно в сингулярную конфигурацию. Спиральная траектория от основания к вершине наивно заставила бы ось C неконтролируемо вращаться при приближении к вершине.
Применение предлагаемого метода:

1. Обнаружение: Алгоритм идентифицирует точки пути в пределах порога (например, $n_z > 0.98$) как сингулярную область.
2. Планирование: Вместо того чтобы заставлять инструмент указывать точно вертикально на вершине, планировщик может ввести небольшой, контролируемый наклон (например, $A=5^\circ$) для нескольких слоев вокруг вершины. Это сохраняет ось C хорошо определенной.
3. Оптимизация: Траектория в этой области перестраивается по времени, чтобы обеспечить движение сопла с постоянной оптимальной скоростью, а небольшое геометрическое отклонение компенсируется на соседнем несингулярном участке пути для сохранения общей точности формы.
4. Результат: Достигается плавное, непрерывное движение, в результате чего получается купол с однородным качеством поверхности на вершине, без наплывов или зазоров.

7. Перспективы применения и направления будущих исследований

• Передовые материалы и процессы: Такое планирование критически важно для печати непрерывными волокнистыми композитами или бетоном, где контроль потока еще более чувствителен к разрывам движения.
• Интеграция с генеративным дизайном: Будущее программное обеспечение CAD/CAE может включать «ограничения технологичности», основанные на этой модели сингулярности, на этапе генеративного дизайна, избегая конструкций, которые по своей природе сложно плавно напечатать на многокоординатных системах.
• Машинное обучение для планирования пути: Агенты обучения с подкреплением могут быть обучены более эффективно, чем традиционная оптимизация, ориентироваться в сложном пространстве компромиссов между избеганием сингулярностей, поддержанием скорости и предотвращением столкновений.
• Стандартизация и облачный слайсинг: По мере того как многокоординатная печать становится более доступной, облачные службы слайсинга могут предлагать оптимизированное для сингулярностей планирование траекторий как премиальную функцию, подобно тому, как сегодня оптимизируются поддержки.

8. Список литературы

1. Ding, D., et al. (2015). A review on 5-axis CNC machining. International Journal of Machine Tools and Manufacture.
2. Chen, X., et al. (2021). Support-Free 3D Printing via Multi-Axis Motion. ACM Transactions on Graphics.
3. ISO/ASTM 52900:2021. Additive manufacturing — General principles — Terminology.
4. Müller, M., et al. (2022). Real-time trajectory planning for robotic additive manufacturing. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing.
5. The MathWorks, Inc. (2023). Robotics System Toolbox: Inverse Kinematics. [Online] Available: https://www.mathworks.com/help/robotics/ug/inverse-kinematics.html

9. Оригинальный анализ и экспертное заключение