熔融沉积成型喷嘴形状的数值优化研究

目录

1. 引言

熔融沉积成型（FDM）是一种主流的增材制造技术，以其成本效益和材料多样性而备受青睐。然而，在不牺牲打印精度的前提下实现高打印速度仍然是一个重大挑战，这在很大程度上受限于挤出喷嘴内部的压力损失。虽然工艺参数优化很常见，但喷嘴本身的几何设计却常被忽视，大多数系统依赖于标准的锥形结构。本研究通过提出一个用于优化喷嘴几何形状以最小化压力损失的数值框架，从而能够实现更高的可行打印速度，以弥补这一空白。该研究批判性地比较了聚合物熔体流动的两种基本本构模型：一个依赖于温度、具有剪切稀化特性的粘性模型，以及一个等温的粘弹性模型。

2. 方法论

2.1. 流动建模

分析的核心在于模拟聚合物熔体的非牛顿流动。采用了两种模型：

• 粘性模型： 一种广义牛顿流体模型，其中粘度 ($\eta$) 是剪切速率 ($\dot{\gamma}$) 和温度 (T) 的函数，通常遵循 Carreau 模型或幂律模型：$\eta(\dot{\gamma}, T) = \eta_0(T) [1 + (\lambda \dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$。该模型捕捉了剪切稀化效应，但忽略了弹性效应。
• 粘弹性模型： 一种等温模型，考虑了流体的记忆效应和弹性应力，通常使用微分本构方程，如 Giesekus 或 Phan-Thien–Tanner 模型。这对于预测挤出胀大等现象至关重要。

采用有限元法（FEM）在喷嘴域内求解这些模型的控制方程（质量守恒和动量守恒）。

2.2. 形状参数化

喷嘴形状通过参数化定义以支持优化：

• 简单参数化： 喷嘴轮廓由一个具有可变半开角 ($\alpha$) 的直线收敛段定义。
• 高级参数化： 轮廓由一条 B 样条曲线描述，由一组控制点控制。这允许生成简单角度无法表示的复杂、非锥形形状。

2.3. 优化框架

建立了一个基于梯度的优化循环。目标函数是从喷嘴入口到出口的总压降 ($\Delta P$)。设计变量是角度 ($\alpha$) 或 B 样条控制点的坐标。该框架迭代地调整几何形状、重新划分网格、重新模拟流动，并计算 $\Delta P$ 对设计变量的敏感性，直到找到最小值。

3. 结果与讨论

3.1. 粘性模型结果

对于粘性模型，最佳半开角 ($\alpha_{opt}$) 显示出对体积流量（进料速率）的强烈依赖性。

• 高流量： 倾向于较小的收敛角，$\alpha_{opt}$ 接近 30°。在高流量下，更陡峭的收敛可以最小化高剪切的长窄区域内的粘性耗散。
• 低流量： 允许更大的最佳角度（例如，60°-70°）。流动受剪切支配的程度较低，更平缓的锥度可以减少入口效应。

图表描述： 不同流量下 $\Delta P$ 与 $\alpha$ 的关系图将显示不同的最小值点，随着流量增加，最小值点向左移动（角度变小）。

3.2. 粘弹性模型结果

相比之下，粘弹性模型预测了 $\alpha_{opt}$ 对进料速率的依赖性要弱得多。在不同流动条件下，最佳角度保持在一个较窄的范围内。这归因于粘性剪切应力和弹性法向应力的竞争效应，它们对几何形状的敏感性不同。粘性模型无法捕捉的弹性应力改变了最佳流动路径。

3.3. 对比与核心见解

1. 模型选择至关重要： 本构模型从根本上改变了优化结果。使用简单粘性模型优化的设计对于真实的粘弹性熔体可能是次优的，特别是当弹性挤出胀大影响沉积精度时。

2. 复杂性的收益递减： 一个关键发现是，与简单的角度优化相比，高级的 B 样条参数化在降低压力损失方面仅带来边际改进。这表明，对于最小化 $\Delta P$ 这一主要目标，一个具有合适角度的简单锥形喷嘴几乎是全局最优的。复杂形状的价值可能在于解决次要目标（例如，控制胀大、减少滞流区）。

3. 依赖于流量的设计： 对于粘性主导的流动（或某些材料），结果支持采用自适应或特定应用场景的喷嘴设计，而非“一刀切”的方法，尤其是在针对宽范围打印速度时。

4. 技术细节

不可压缩流动的控制方程为：

质量守恒： $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

动量守恒： $\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}$

其中 $\mathbf{v}$ 是速度，$p$ 是压力，$\rho$ 是密度，$\boldsymbol{\tau}$ 是偏应力张量。

对于粘性模型： $\boldsymbol{\tau} = 2 \eta(\dot{\gamma}, T) \mathbf{D}$，其中 $\mathbf{D}$ 是变形速率张量。

对于粘弹性模型（例如 Giesekus 模型）：
$\boldsymbol{\tau} + \lambda \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}} + \frac{\alpha_G}{\eta} (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2 \eta \mathbf{D}$
其中 $\lambda$ 是松弛时间，$\alpha_G$ 是迁移率参数，$\stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}}$ 是上随体导数。

5. 分析框架示例

案例研究：为高速 PLA 打印进行优化

目标： 设计一个用于以 150 mm/s 层速打印 PLA 的喷嘴。

步骤：

1. 材料表征： 获取 PLA 在打印温度（例如 210°C）下的流变数据，以拟合 Carreau-Yasuda（粘性）模型和 Giesekus（粘弹性）模型的参数。
2. 基线模拟： 模拟一个标准的 30° 锥形喷嘴。使用两种模型进行模拟，以建立基线 $\Delta P$ 和流场。
3. 角度扫描（先粘性）： 运行粘性优化循环，将 $\alpha$ 从 15° 变化到 75°。确定 $\alpha_{opt}^{visc}$（对于高速打印约为 30-35°）。
4. 粘弹性验证： 使用粘弹性模型模拟步骤 3 得到的几何形状。比较 $\Delta P$ 并观察挤出胀大的预测。
5. 权衡分析： 如果粘弹性模型的 $\Delta P$ 可接受且胀大得到控制，则采用简单的锥形设计。否则，使用 B 样条框架启动多目标优化（最小化 $\Delta P$ 和胀大）。

这种结构化方法优先考虑简单性和基于模型的决策。

6. 未来应用与方向

• 多物理场与多目标优化： 未来的工作必须集成传热以模拟非等温流动，并将流动优化与最小化热降解或提高层间粘合强度等目标相结合。
• 机器学习增强设计： 利用神经网络等作为代理模型的技术，类似于空气动力学形状优化领域的进展（参见《Journal of Fluid Mechanics》，第 948 卷，2022 年），可以大幅降低探索 B 样条所支持的复杂设计空间的算力成本。
• 主动式或多材料喷嘴： 探索具有内部导流结构或由不同热性能材料制成的部分的喷嘴设计，以主动管理剪切和温度分布。
• 基准测试标准化： 该领域将受益于 FDM 喷嘴流动的标准化基准案例，类似于用于粘弹性流动的 4:1 平面收缩基准，以便比较不同的模型和优化方法。

7. 参考文献

1. Bird, R. B., Armstrong, R. C., & Hassager, O. (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1: Fluid Mechanics. Wiley.
2. Haleem, A., et al. (2017). Role of feed force in FDM: A review. Rapid Prototyping Journal.
3. Nzebuka, G. C., et al. (2022). CFD analysis of polymer flow in FDM nozzles. Physics of Fluids.
4. Schuller, M., et al. (2024). High-speed FDM: Challenges in feeding mechanics. Additive Manufacturing.
5. Zhu, J., et al. (2022). Deep learning for aerodynamic shape optimization. Journal of Fluid Mechanics, 948, A34. （关于优化中机器学习的参考文献）
6. 开源 CFD 软件：OpenFOAM 和 FEATool 用于多物理场模拟。

8. 专家分析：批判性视角