面向多轴增材制造的奇异性感知运动规划

1. 引言

多轴增材制造（MAAM）代表了超越传统平面分层3D打印的重要演进。通过实现材料沿动态变化的方向（例如，沿表面法线）沉积，MAAM系统为解决长期存在的问题提供了方案，例如对支撑结构的需求、层间强度弱以及曲面上的阶梯效应。然而，这种几何自由度的增加带来了复杂的运动规划挑战，尤其是在通常结合三个平移轴和两个旋转轴的硬件平台上实现设计的刀具路径时。

1.1 MAAM中的运动规划问题

核心挑战在于设计刀具路径的工作坐标系（WCS）与控制物理执行器的机床坐标系（MCS）之间的非线性映射。当刀具方向接近垂直时——这个区域被称为运动学奇异性，WCS中平滑、均匀采样的刀具路径可能被映射为MCS中高度不连续的运动。在基于线材的增材制造中，这种不连续性会破坏稳定的挤出流，导致挤出过度或挤出不足，表现为表面缺陷并损害机械完整性。与可以暂停运动的数控铣削不同，增材制造需要连续运动，并且必须遵守由挤出机物理极限决定的严格速度约束（$f_{min} \leq v_{tip} \leq f_{max}$）。此外，碰撞规避必须集成到规划过程中。

2. 背景与相关工作

2.1 多轴增材制造系统

存在多种硬件配置，包括带有倾斜旋转工作台（例如，3+2轴）或机械臂（6自由度）的系统。这些系统通过使沉积方向与表面法线对齐，实现了悬垂结构的无支撑打印。

2.2 面向曲面的刀具路径生成

研究重点一直放在生成非平面、曲面分层的刀具路径上，以优化强度和表面光洁度。然而，这些复杂路径的物理实现常常被忽视。

2.3 多轴数控加工中的奇异性

奇异性是五轴数控加工中一个众所周知的问题，即刀具轴与一个旋转轴对齐，导致逆运动学解出现数学上的不连续性。传统的数控解决方案通常涉及刀具路径修改或重新参数化，但由于需要连续挤出和有界速度，它们不能直接应用于增材制造。

3. 提出的方法

3.1 问题建模

输入是在WCS中定义为一系列路径点 $\mathbf{W}_i = (\mathbf{p}_i, \mathbf{n}_i)$ 的刀具路径，其中 $\mathbf{p}_i$ 是位置，$\mathbf{n}_i$ 是喷嘴方向（通常是表面法线）。目标是为典型的五轴机床（XYZAC）找到MCS中对应的运动序列 $\mathbf{M}_j = (x_j, y_j, z_j, A_j, C_j)$，该序列需要：

1. 避免运动学奇异性或管理其影响。
2. 保持连续性以确保不间断挤出。
3. 将喷嘴尖端速度保持在 $[v_{min}, v_{max}]$ 范围内。
4. 避免打印头与零件之间发生碰撞。

3.2 奇异性感知运动规划算法

本文提出了一种算法，用于识别刀具路径中的奇异区域（例如，法向量垂直分量接近1的区域）。它不是在WCS中简单地均匀采样路径点，而是在这些区域执行自适应采样和局部刀具路径优化。这可能涉及方向的轻微偏离或运动时序的重新调整，以平滑旋转轴（$A$, $C$）中的不连续跳跃，从而防止喷嘴尖端速度的突变。

3.3 集成化碰撞规避

该运动规划器集成了一个基于采样的碰撞检查器。当在规划规避奇异性的运动过程中检测到潜在碰撞时，算法会迭代调整刀具路径或机床姿态，直到找到无碰撞且管理了奇异性的解决方案。

4. 技术细节与数学建模

可以表达一个典型的带有倾斜旋转工作台（工作台上有AC轴）的五轴机床的逆运动学。WCS中的刀具方向向量 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ 被映射到旋转角度 $A$（倾斜）和 $C$（旋转）。一个常见的公式是：

$A = \arccos(n_z)$

$C = \operatorname{atan2}(n_y, n_x)$

当 $n_z \approx \pm 1$（即 $A \approx 0^\circ$ 或 $180^\circ$）时发生奇异性，此时 $C$ 变得未定义——这是一种万向节锁死情况。关联关节速度与刀具尖端速度的雅可比矩阵在此处变得病态。本文的算法可能通过监控该雅可比矩阵的条件数或 $n_z$ 的值来检测奇异区域。规划的核心在于求解一个最小化成本函数 $J$ 的优化问题：

$J = \alpha J_{continuity} + \beta J_{speed} + \gamma J_{singularity} + \delta J_{collision}$

其中 $J_{continuity}$ 惩罚MCS运动中的不连续性，$J_{speed}$ 确保尖端速度边界，$J_{singularity}$ 惩罚接近奇异构型的情况，$J_{collision}$ 是碰撞惩罚项。权重 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 用于平衡这些目标。

5. 实验结果与分析

5.1 实验设置

该方法在一台定制的五轴3D打印机（XYZ平移，AC旋转工作台）上进行了验证，用于制造如斯坦福兔子等具有曲面分层的模型。

5.2 制造质量对比

图1（引自PDF）： 展示了清晰的视觉对比。使用传统规划打印的兔子（图1a）在圆圈标出的区域显示出严重的表面缺陷（挤出过度/不足），这些区域对应于表面法线接近垂直（奇异区域）的区域。使用本文提出的奇异性感知规划打印的兔子（图1c）在相同区域显示出明显更光滑的表面。图1b用黄色视觉化地高亮了位于奇异区域的路径点，展示了算法的检测能力。

5.3 运动连续性与速度分析

旋转轴角度（$A$, $C$）和计算出的喷嘴尖端速度随时间变化的曲线图将显示，所提出的方法平滑了在传统方法中观察到的旋转角度的近乎不连续的跳跃。因此，喷嘴尖端速度保持在稳定的挤出窗口 $[v_{min}, v_{max}]$ 内，而传统方法则导致速度尖峰或降至接近零，这直接解释了挤出缺陷的产生。

6. 分析框架：非代码案例研究

场景： 打印一个具有垂直对称轴的穹顶形物体。
挑战： 穹顶的顶点具有垂直法线（$n_z=1$），使其直接处于奇异构型。从底部到顶点的螺旋刀具路径在接近顶部时，会简单地导致C轴不受控制地旋转。
所提方法的应用：

1. 检测： 算法将阈值内（例如 $n_z > 0.98$）的路径点识别为奇异区域。
2. 规划： 规划器不会强制刀具在顶点处精确垂直指向，而是可能在顶点周围的几层引入一个轻微的、受控的倾斜（例如 $A=5^\circ$）。这使得C轴保持良好定义。
3. 优化： 对该区域的刀具路径进行重新时序安排，以确保喷嘴以恒定、最佳速度移动，并且轻微的几何偏差在相邻的非奇异路径中得到补偿，以保持整体形状保真度。
4. 结果： 实现了平滑、连续的运动，从而在顶点处获得具有一致表面光洁度的穹顶，没有出现料滴或间隙。

7. 应用前景与未来方向

• 先进材料与工艺： 这种规划对于使用连续纤维复合材料或混凝土进行打印至关重要，因为这些工艺的流量控制对运动不连续性更加敏感。
• 与生成式设计的集成： 未来的CAD/CAE软件可以在生成式设计阶段，基于此奇异性模型整合“可制造性约束”，避免那些本质上难以在多轴系统上平滑打印的设计。
• 用于路径规划的机器学习： 可以训练强化学习智能体，使其比传统优化方法更有效地在规避奇异性、保持速度和避免碰撞之间复杂的权衡空间中进行导航。
• 标准化与云端切片： 随着多轴打印变得更加普及，基于云端的切片服务可以将奇异性优化刀具路径规划作为一项高级功能提供，类似于当今支撑优化的方式。

8. 参考文献

1. Ding, D., et al. (2015). A review on 5-axis CNC machining. International Journal of Machine Tools and Manufacture.
2. Chen, X., et al. (2021). Support-Free 3D Printing via Multi-Axis Motion. ACM Transactions on Graphics.
3. ISO/ASTM 52900:2021. Additive manufacturing — General principles — Terminology.
4. Müller, M., et al. (2022). Real-time trajectory planning for robotic additive manufacturing. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing.
5. The MathWorks, Inc. (2023). Robotics System Toolbox: Inverse Kinematics. [Online] Available: https://www.mathworks.com/help/robotics/ug/inverse-kinematics.html

9. 原创分析与专家评论