多軸積層製造中嘅奇異點感知運動規劃

1. 簡介

多軸積層製造（MAAM）代表咗超越傳統平面層3D打印嘅重要演進。通過允許沿動態變化嘅方向（例如，沿表面法線）沉積材料，MAAM系統為一啲長期存在嘅問題提供咗解決方案，例如需要支撐結構、層間強度弱以及曲面上嘅階梯效應。然而，呢種增加嘅幾何自由度引入咗複雜嘅運動規劃挑戰，特別係喺通常結合三個平移軸同兩個旋轉軸嘅硬件平台上實現設計嘅刀具路徑時。

1.1 MAAM中嘅運動規劃問題

核心挑戰在於工件坐標系（WCS，刀具路徑喺度設計）同機器坐標系（MCS，控制物理執行器）之間嘅非線性映射。當刀具方向接近垂直時（呢個區域稱為運動學奇異點），WCS中平滑、均勻採樣嘅刀具路徑可能會映射到MCS中高度不連續嘅運動。喺基於線材嘅AM中，呢種不連續性會破壞穩定嘅擠出流，導致過度擠出或擠出不足，表現為表面瑕疵並損害機械完整性。同可以暫停運動嘅CNC銑削唔同，AM需要連續運動，並且必須遵守由擠出機物理限制決定嘅嚴格速度約束（$f_{min} \leq v_{tip} \leq f_{max}$）。此外，碰撞避免必須集成到規劃過程中。

2. 背景及相關工作

2.1 多軸積層製造系統

存在多種硬件配置，包括帶有傾斜旋轉工作台（例如，3+2軸）或機械臂（6自由度）嘅系統。呢啲系統通過將沉積方向與表面法線對齊，實現咗懸垂結構嘅無支撐打印。

2.2 曲面層嘅刀具路徑生成

研究集中於生成非平面、曲面層刀具路徑以優化強度同表面光潔度。然而，呢啲複雜路徑嘅物理實現經常被忽視。

2.3 多軸CNC加工中嘅奇異點

奇異點係5軸CNC加工中一個眾所周知嘅問題，當刀具軸線與一個旋轉軸對齊時，會導致逆運動學解中出現數學不連續性。傳統嘅CNC解決方案通常涉及刀具路徑修改或重新參數化，但由於需要連續擠出同有界速度，佢哋唔可以直接應用於AM。

3. 提出嘅方法論

3.1 問題表述

輸入係定義為WCS中一系列路點 $\mathbf{W}_i = (\mathbf{p}_i, \mathbf{n}_i)$ 嘅刀具路徑，其中 $\mathbf{p}_i$ 係位置，$\mathbf{n}_i$ 係噴嘴方向（通常係表面法線）。目標係喺MCS中搵到對應嘅運動序列，對於典型嘅5軸機器（XYZAC）即 $\mathbf{M}_j = (x_j, y_j, z_j, A_j, C_j)$，該序列需要：

1. 避免運動學奇異點或管理其影響。
2. 保持連續性以確保不間斷擠出。
3. 將噴嘴尖端速度保持在 $[v_{min}, v_{max}]$ 範圍內。
4. 避免打印頭同零件之間發生碰撞。

3.2 奇異點感知運動規劃演算法

本文提出咗一種演算法，用於識別刀具路徑中嘅奇異區域（例如，法線向量嘅垂直分量接近1嘅地方）。佢唔係簡單地喺WCS中均勻採樣路點，而係喺呢啲區域進行自適應採樣同局部刀具路徑優化。呢個過程可能涉及方向嘅輕微偏離或運動嘅重新定時，以平滑旋轉軸（$A$, $C$）中嘅不連續跳躍，從而防止噴嘴尖端速度嘅突然變化。

3.3 集成式碰撞避免

運動規劃器集成咗一個基於採樣嘅碰撞檢查器。當喺規劃避免奇異點嘅運動時檢測到潛在碰撞，演算法會迭代調整刀具路徑或機器姿態，直到搵到一個無碰撞且管理咗奇異點嘅解決方案。

4. 技術細節及數學表述

可以表述帶有傾斜旋轉工作台（工作台上嘅AC軸）嘅典型5軸機器嘅逆運動學。WCS中嘅刀具方向向量 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ 被映射到旋轉角度 $A$（傾斜）同 $C$（旋轉）。一個常見嘅表述係：

$A = \arccos(n_z)$

$C = \operatorname{atan2}(n_y, n_x)$

當 $n_z \approx \pm 1$（即 $A \approx 0^\circ$ 或 $180^\circ$）時會發生奇異點，此時 $C$ 變為未定義——呢個係萬向節鎖死情況。將關節速度與刀具尖端速度聯繫起來嘅雅可比矩陣喺此處會變得病態。本文嘅演算法可能監控呢個雅可比矩陣嘅條件數或 $n_z$ 嘅值來檢測奇異區域。規劃嘅核心在於解決一個最小化成本函數 $J$ 嘅優化問題：

$J = \alpha J_{continuity} + \beta J_{speed} + \gamma J_{singularity} + \delta J_{collision}$

其中 $J_{continuity}$ 懲罰MCS運動中嘅不連續性，$J_{speed}$ 確保尖端速度界限，$J_{singularity}$ 懲罰接近奇異配置，$J_{collision}$ 係碰撞懲罰。權重 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 用於平衡呢啲目標。

5. 實驗結果及分析

5.1 實驗設置

該方法喺一台自製嘅5軸3D打印機（XYZ平移，AC旋轉台）上進行驗證，打印咗好似Stanford Bunny呢類帶有曲面層嘅模型。

5.2 製造質量比較

圖1（引自PDF）： 展示咗清晰嘅視覺比較。使用傳統規劃打印嘅兔子（圖1a）喺圈出嘅區域顯示出嚴重嘅表面瑕疵（過度/擠出不足），對應於表面法線接近垂直（奇異區域）嘅區域。使用提出嘅奇異點感知規劃打印嘅兔子（圖1c）喺相同區域顯示出明顯更平滑嘅表面。圖1b用黃色視覺化突出顯示咗位於奇異區域嘅路點，展示咗演算法嘅檢測能力。

5.3 運動連續性及速度分析

旋轉軸角度（$A$, $C$）同計算出嘅噴嘴尖端速度隨時間變化嘅圖表會顯示，提出嘅方法平滑咗傳統方法中觀察到嘅旋轉角度嘅近乎不連續跳躍。因此，噴嘴尖端速度保持喺穩定擠出窗口 $[v_{min}, v_{max}]$ 內，而傳統方法則導致速度尖峰或降至接近零，直接解釋咗擠出缺陷。

6. 分析框架：非代碼案例研究

場景： 打印一個具有垂直對稱軸嘅穹頂形物體。
挑戰： 穹頂頂點具有垂直法線（$n_z=1$），使其直接處於奇異配置中。從基底到頂點嘅螺旋刀具路徑會簡單地導致C軸喺接近頂部時不受控制地旋轉。
提出方法嘅應用：

1. 檢測： 演算法將閾值內（例如 $n_z > 0.98$）嘅路點識別為奇異區域。
2. 規劃： 規劃器唔係強迫刀具喺頂點完全垂直指向，而係可能喺頂點周圍嘅幾層引入輕微、受控嘅傾斜（例如 $A=5^\circ$）。咁樣可以保持C軸定義良好。
3. 優化： 重新定時呢個區域嘅刀具路徑，以確保噴嘴以恆定、最佳速度移動，並且輕微嘅幾何偏差喺相鄰非奇異路徑中得到補償，以保持整體形狀保真度。
4. 結果： 實現咗平滑、連續嘅運動，產生出一個頂點具有一致表面光潔度、無斑點或空隙嘅穹頂。

7. 應用前景及未來方向

• 先進材料及工藝： 對於使用連續纖維複合材料或混凝土進行打印，呢種規劃至關重要，因為呢啲材料嘅流量控制對運動不連續性更加敏感。
• 與生成式設計集成： 未來嘅CAD/CAE軟件可以喺生成式設計階段，基於呢個奇異點模型整合「可製造性約束」，避免設計出本質上難以喺多軸系統上平滑打印嘅模型。
• 用於路徑規劃嘅機器學習： 可以訓練強化學習智能體，比傳統優化方法更有效地喺奇異點避免、速度維持同碰撞避免之間嘅複雜權衡空間中導航。
• 標準化及雲端切片： 隨著多軸打印變得更加普及，基於雲端嘅切片服務可以提供奇異點優化嘅刀具路徑規劃作為高級功能，類似於今日支撐結構嘅優化方式。

8. 參考文獻

1. Ding, D., et al. (2015). A review on 5-axis CNC machining. International Journal of Machine Tools and Manufacture.
2. Chen, X., et al. (2021). Support-Free 3D Printing via Multi-Axis Motion. ACM Transactions on Graphics.
3. ISO/ASTM 52900:2021. Additive manufacturing — General principles — Terminology.
4. Müller, M., et al. (2022). Real-time trajectory planning for robotic additive manufacturing. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing.
5. The MathWorks, Inc. (2023). Robotics System Toolbox: Inverse Kinematics. [Online] Available: https://www.mathworks.com/help/robotics/ug/inverse-kinematics.html

9. 原創分析及專家評論