多軸積層製造中最小化變形的製程序列優化

1. 引言

多軸積層製造（AM），例如機械手臂電弧積層製造（WAAM），透過允許列印頭或工件的重新定向，引入了製造靈活性。這種靈活性超越了平面層沉積的限制，使得曲線層的使用成為可能。然而，金屬AM涉及顯著的溫度梯度與相變，導致不均勻的熱膨脹/收縮及隨之而來的變形。此變形對結構性能與尺寸精度（例如組裝精度）具有關鍵影響。本文提出一個計算框架，以最佳化製造序列——以連續偽時間場表示——並使用基於梯度的最佳化方法來最小化多軸AM中的變形。

2. 方法論

2.1 偽時間場編碼

製造序列被編碼為一個定義在元件域 $\Omega$ 上的連續純量場 $T(\mathbf{x})$，稱為偽時間場。域內每個點 $\mathbf{x} \in \Omega$ 都被賦予一個偽時間值。材料沉積順序遵循 $T(\mathbf{x})$ 的升序：$T$ 值較小的點上的材料會先於 $T$ 值較大的點上的材料沉積。這種連續表示是可微分的，使得我們能夠使用高效的基於梯度的優化演算法，來尋找能最小化目標函數（例如總變形）的最佳序列。

2.2 失真建模

採用一個計算上易處理且合理準確的熱力學模型來預測變形。該模型模仿固有應變法，著重於材料冷卻時收縮的主導效應。變形 $\mathbf{u}$ 是透過求解一個線彈性平衡問題來計算，其中特徵應變 $\boldsymbol{\varepsilon}^*$ 代表收縮：

\[ \nabla \cdot \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{0} \quad \text{in } \Omega \]

\[ \boldsymbol{\sigma} = \mathbf{C} : (\boldsymbol{\varepsilon} - \boldsymbol{\varepsilon}^*) \]

\[ \boldsymbol{\varepsilon} = \frac{1}{2}(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^T) \]

其中 $\boldsymbol{\sigma}$ 為應力，$\mathbf{C}$ 為彈性張量，$\boldsymbol{\varepsilon}$ 為應變。特徵應變 $\boldsymbol{\varepsilon}^*$ 是局部溫度歷史的函數，其與偽時間場 $T(\mathbf{x})$ 隱含相關。

2.3 基於梯度的優化

最佳化問題表述如下：

\[ \min_{T} \quad J = \frac{1}{2} \int_{\Omega} \| \mathbf{u}(T) \|^2 \, d\Omega \]

受限於 $T$ 需定義一個有效序列的約束條件。梯度 $\partial J / \partial T$ 是使用伴隨方法計算的，這允許在偽時間場的高維設計空間中進行高效搜索。

3. Results & Discussion

3.1 數值研究

該框架被應用於基準幾何結構，包括一個懸臂梁和一個更複雜的支架狀結構。基準案例使用了傳統的平面層序列。優化後的偽時間場生成了非平面、彎曲的沉積路徑。

關鍵成果：失真降低

優化的曲面層將失真降低了數個數量級 相較於平面層序列。在懸臂案例中，最大位移從基準的約10毫米減少至不到1毫米。

3.2 失真降低

結果表明，序列優化有效地重新分配了材料添加的順序，以平衡不斷演變的內應力。優化的曲面層在製造過程中通常遵循與主應力方向一致的路徑，從而減輕了導致變形的殘餘應力積累。

4. Technical Analysis & Framework

4.1 Core Insight & Logical Flow

核心洞察： 這篇論文的突破不僅在於彎曲層；更在於將製程規劃重新定義為一個連續場域優化問題。透過將建構序列編碼為可微分的偽時間場 $T(\mathbf{x})$，他們將路徑規劃中離散、組合的難題，與基於梯度的微積分之平滑、高效世界連接起來。這類似於水平集方法如何透過從離散的像素更新轉向連續的邊界演化，從而革新了拓撲優化。真正的價值在於梯度——它將一個難以處理的搜尋（比較數十億個序列）轉化為一個可解的下降問題。

Logical Flow: 其邏輯優雅而直接：1) 變形源於連續熱應力的累積。2) 加工順序決定了應力歷史。3) 因此，控制加工順序即可控制變形。4) 為了利用梯度優化順序，將其表示為一個連續場。5) 使用伴隨方法計算此場中微小變化如何影響最終變形。6) 讓優化器找到使變形最小化的場。從物理（熱力學）到數學（優化）再到應用（曲線刀具路徑）的流程連貫且具說服力。

4.2 Strengths & Flaws

優勢：

數學優雅性： The pseudo-time field is a clever, portable representation. It decouples the optimization formulation from the specific AM process, making the framework potentially applicable to other sequential processes like 4D printing or composite layup.
計算可行性： 利用伴隨敏感度分析，使得優化高維序列場變得可行，這是一項超越啟發式或遺傳演算法方法的重大進展。
顯著成果： 「數量級」的失真降低是一項大膽的主張，並有他們的數值證據支持，直接針對了關鍵的工業痛點。

Flaws & Critical Gaps:

模型保真度與速度的權衡： 所採用的「計算上易處理」的變形模型可能是一種簡化的固有應變或熱彈性模型。對於複雜合金或大型構件，相較於高保真度的熱-冶金-力學模擬，此類模型可能缺乏準確性。該論文未充分論證其與實驗數據或高保真度模擬之間的驗證差距，這是增材製造製程建模文獻回顧中常見的問題。
「曲面分層」製造難題： 該論文出色地解決了規劃問題但輕描淡寫地帶過執行問題。從優化的偽時間場生成平滑、無碰撞的五軸刀具路徑並非易事。諸如噴嘴可達性、曲面層中懸垂部分的支撐結構，以及沿複雜路徑對WAAM參數（熱輸入、送絲速度）的動態控制等問題，都是主要的實際障礙。
可擴展性： 雖然伴隨法效率很高，但對於大規模工業部件（例如提及的2公尺挖掘機臂），為準確預測應力而需以足夠網格解析度求解平衡方程，其計算成本仍然高昂。

4.3 可執行洞察

對於研究人員： 這是一篇基礎方法論論文。緊接的下一步是整合更高精度的物理模型。以耦合的熱-冶金模型取代簡化的收縮模型，或許可採用模型降階技術以控制計算成本。此外，探索多目標優化——同步最小化變形、建造時間與材料浪費。

致軟體開發人員（CAD/CAM/CAE）： 偽時間場概念應整合至下一代增材製造規劃套件中。開發穩健的演算法，將優化後的 $T(\mathbf{x})$ 場轉換為機器指令，並處理路徑平滑化、碰撞避免與製程參數同步化。此為實現商業化所欠缺的關鍵環節。

針對產業從業人員（航太、海事）： 從非關鍵性的大型部件開始試點項目，此類部件的主要問題在於變形。重點關注幾何形狀，其中減少變形帶來的好處超過多軸編程的複雜性。與機器人系統整合商合作，以解決路徑執行的挑戰。投資回報率是明確的：減少後處理（加工、校直）並提高首次即合格率。

針對設備製造商： 投資於能夠接受複雜非平面刀具路徑的開放式架構控制器。開發原位變形監測系統（例如雷射掃描），以建立一個閉環系統，使測量到的變形能夠用於近乎即時地更新偽時間場優化，從而適應不可預測的製程變化。

5. Future Applications & Directions

此框架在WAAM變形控制之外具有廣泛的潛力：

Multi-Material & Functionally Graded AM: 優化沉積順序以混合不同材料，從而管理界面應力並防止分層。
太空製造之原位資源利用（ISRU）： 在月球或火星上使用風化層建造結構時，優化製造順序對於在後處理能力有限的極端環境中管理熱應力至關重要。
與拓撲優化整合： 同時對元件的形狀（拓撲）及其製造順序進行協同優化——從一開始就為性能和可製造性進行設計。這符合如 America Makes.
4D Printing & Active Structures: 序列優化可控制殘餘應力狀態，以在智慧材料激活時編程特定的形變行為。

6. References

Ding, D., Pan, Z., Cuiuri, D., & Li, H. (2015). Wire-feed additive manufacturing of metal components: technologies, developments and future interests. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 81(1-4), 465-481.
Williams, S. W., Martina, F., Addison, A. C., Ding, J., Pardal, G., & Colegrove, P. (2016). Wire+ Arc Additive Manufacturing. Materials Science and Technology, 32(7), 641-647.
Wang, W., van Keulen, F., & Wu, J. (2023). 多軸積層製造中最小化變形的製程序列優化. arXiv預印本 arXiv:2212.13307.
Zhu, J., Zhou, H., Wang, C., Zhou, L., Yuan, S., & Zhang, W. (2021). A review of topology optimization for additive manufacturing: Status and challenges. Chinese Journal of Aeronautics, 34(1), 91-110.
Oak Ridge National Laboratory. (2017). BAAM: Big Area Additive Manufacturing. Retrieved from https://www.ornl.gov/news/ornl-demonstrates-3d-printed-excavator
Gibson, I., Rosen, D., & Stucker, B. (2015). 積層製造技術：3D列印、快速原型製作與直接數位製造 (第二版). Springer.

目錄