熔融沉積成型之全解析數值模擬：第一部分 – 流體流動分析

目錄

1. 緒論

熔融沉積成型（FDM），亦稱為熔絲製造（FFF），是一種主流的積層製造技術，透過沉積並熔合連續的熱塑性塑膠線材層來建構複雜的3D物件。儘管其應用廣泛，但製程參數的優化大多依賴經驗實驗，缺乏一個全面、基於物理的預測模型。夏等人發表的這篇論文，是開發FDM全解析數值模擬方法的開創性努力之第一部分，初期聚焦於熱聚合物沉積的流體流動與冷卻階段。

本研究旨在彌補一個關鍵缺口：從試誤法轉向從第一性原理理解製程參數（噴嘴速度、溫度、層沉積）如何影響線材形態、黏結，並最終影響零件品質。高精度模擬這些現象的能力，被視為推動FDM邁向更可靠與複雜應用（如功能梯度材料與多材料列印）的關鍵。

2. 方法論與數值框架

本研究的核心在於將一種成熟的數值技術，調整應用於FDM模擬的獨特挑戰。

2.1. 前緣追蹤/有限體積法

作者將一種最初為多相流開發的前緣追蹤/有限體積法（Tryggvason等人，2001，2011）擴展，用於模擬聚合物熔體的噴射與冷卻。此方法特別適用於涉及移動界面與大變形的問題——這正是黏性線材沉積於基板或前一層上的情境。

• 前緣追蹤：使用連接的標記點，明確追蹤變形聚合物線材的界面（表面）。這能精確呈現線材形狀及其演變。
• 有限體積：在固定的結構化網格上求解控制守恆方程式（質量、動量、能量）。追蹤的前緣與固定網格之間的交互作用，透過定義明確的耦合方案處理。

2.2. 控制方程式與模型擴展

該模型求解具有溫度相依黏度的不可壓縮納維-斯托克斯方程式，以捕捉聚合物熔體的非牛頓流動。同時求解能量方程式以模擬熱傳遞與冷卻。針對FDM的關鍵擴展包括：

• 模擬熱材料從移動噴嘴的噴射。
• 捕捉新沉積線材與較冷基板或前一層之間的接觸與熔合。
• 模擬由此產生的「再熱區域」，即新的熱線材部分重新熔化既有材料，此區域對層間黏結強度至關重要。

註：凝固、體積變化與殘餘應力的建模，明確推遲至本系列的第二部分。

3. 結果與驗證

透過系統性驗證，展示了所提方法的穩健性。

3.1. 網格收斂性研究

網格收斂性是任何計算流體力學方法的關鍵測試。作者使用逐步細化的計算網格進行模擬。結果顯示，關鍵輸出指標——線材形狀、溫度分佈、接觸面積與再熱區域大小——隨著網格細化而收斂至穩定值。這證明了方法的數值穩健性，並為準確模擬所需的分辨率提供了指引。

3.2. 線材形狀與溫度分佈

模擬成功捕捉了沉積FDM線材特有的「壓扁圓柱」形狀，此形狀源自黏性流動、表面張力以及與建構平台接觸之間的相互作用。溫度場視覺化顯示了來自噴嘴的高溫核心，並向邊緣與基板呈現陡峭的溫度梯度，突顯了製程固有的快速冷卻特性。

3.3. 接觸面積與再熱區域分析

其中一個最重要的結果是對層間接觸面積與再熱區域的定量預測。模型顯示新的熱線材如何部分重新熔化其下方層的表面。此區域的範圍直接決定了黏結強度，並顯示其為沉積溫度、材料熱性質以及層間時間間隔的函數。

4. 技術分析與核心洞見

核心洞見：夏等人不僅僅是發表另一篇計算流體力學論文；他們正在為聚合物擠出式3D列印奠定基礎數位雙生。此處真正的突破在於明確、高解析度地捕捉線材-基板界面動力學——決定列印零件最終機械完整性的「潤濕」與重新熔化過程。這將該領域從簡化的珠粒-基板模型，推進到層間黏結預測科學的範疇。

邏輯流程與策略定位：論文的結構在策略上非常出色。透過將問題拆分為流體流動（第一部分）與凝固/應力（第二部分），他們首先處理了最易處理、卻至關重要的第一階段。此處的成功驗證了核心數值框架。選擇前緣追蹤法而非更流行的流體體積法（VOF）或水平集法，是一個經過計算的賭注。這表明團隊優先考慮界面準確性而非計算簡易性，這是捕捉精細再熱區域的必要權衡。這與高效能計算的趨勢一致，即在產生「基準真值」時，準確性至關重要，如同在湍流建模（Spalart，2015）和數位材料設計等其他領域所見。

優勢與缺陷：主要優勢無可否認：這是首次對FDM沉積進行全解析3D模擬，樹立了新標竿。網格收斂性研究增加了顯著的可信度。然而，顯而易見的缺陷是第一部分明顯忽略了材料凝固與結晶動力學。雖然推遲至第二部分，但這種分離在某種程度上是人為的，因為對於ABS或PLA等聚合物，冷卻與凝固是緊密耦合的。模型目前假設簡單的溫度相依黏度，對於半結晶聚合物（其黏度在結晶時會急遽變化）可能失效。此外，與許多學術論文一樣，本文對計算成本保持沉默。單層沉積需要多少核心小時？這是工業應用的實際障礙。

可執行洞見：對於研發團隊而言，立即的收穫是將此方法（或其未來的開源實作）用作噴嘴設計與路徑規劃優化的虛擬測試平台。在列印任何一克昂貴的複合材料線材之前，先模擬其流動以預測孔隙或不良黏結。對於設備製造商而言，關於接觸面積與再熱區域的結果，為開發主動式、局部加熱系統（如雷射或紅外線）以精確控制層間溫度提供了基於物理的論據，而非依賴整體腔室加熱。研究社群應將此視為行動號召：框架已建立；現在需要為常見及下一代列印聚合物，填入準確且經過驗證的材料性質資料庫。

5. 技術細節與數學公式

在有限體積框架中求解的控制方程式為：

質量守恆（不可壓縮流）：

$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

動量守恆：

$\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{g} + \mathbf{f}_\sigma$

其中 $\boldsymbol{\tau} = \mu(T) (\nabla \mathbf{u} + \nabla \mathbf{u}^T)$ 是具有溫度相依黏度 $\mu(T)$ 的牛頓流體之黏性應力張量，$\mathbf{g}$ 是重力，$\mathbf{f}_\sigma$ 是集中於前緣的表面張力。

能量守恆：

$\rho c_p \left( \frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla T \right) = \nabla \cdot (k \nabla T)$

其中 $\rho$ 是密度，$c_p$ 是比熱，$k$ 是熱傳導係數，$T$ 是溫度。

前緣追蹤法使用一組連接的拉格朗日標記點 $\mathbf{x}_f$ 來表示界面。界面條件（無滑移、溫度連續性與表面張力）透過使用離散δ函數 $\delta_h$ 將力從前緣分佈到固定的尤拉網格來施加：$\mathbf{f}_\sigma(\mathbf{x}) = \int_F \sigma \kappa \mathbf{n} \, \delta_h(\mathbf{x} - \mathbf{x}_f) dA$，其中 $\sigma$ 是表面張力係數，$\kappa$ 是曲率，$\mathbf{n}$ 是單位法向量。

6. 實驗結果與圖表說明

雖然論文主要是計算性質，但仍針對預期的物理行為進行驗證。描述的主要圖形輸出包括：

• 圖：線材橫截面演變：一個時間序列，顯示熱的圓形聚合物熔體離開噴嘴、接觸建構平台，並由於重力與黏度而擴展成最終的扁平橢圓形輪廓。
• 圖：溫度等值線圖：沉積線材的2D切片圖，顯示從紅色（熱，接近噴嘴溫度 ~220°C）到藍色（冷，接近平台溫度 ~80°C）的顏色梯度。等值線清晰地顯示了熱邊界層以及向基板的不對稱冷卻。
• 圖：再熱區域視覺化：等值面圖，突顯先前沉積線材內因新層熱量而溫度超過玻璃轉化溫度（$T_g$）的體積。此體積與黏結強度直接相關。
• 圖表：網格收斂圖：線圖，繪製關鍵輸出指標（例如，最大接觸寬度）對網格單元尺寸倒數（$1/\Delta x$）的關係。曲線漸近地趨近一個常數值，展示了網格獨立性。

7. 分析框架：概念性案例研究

情境：優化一種高性能、高黏度聚合物（例如，PEEK）的沉積，該材料容易出現層間黏結不良。

框架應用：

1. 定義目標：在保持線材尺寸精度的同時，最大化再熱區域體積（作為黏結強度的代理指標）。
2. 參數空間：噴嘴溫度（$T_{nozzle}$）、平台溫度（$T_{bed}$）、噴嘴高度（$h$）與列印速度（$V$）。
3. 模擬設計：使用所述的前緣追蹤法，在參數空間中執行一組設計好的模擬（例如，拉丁超立方取樣）。
4. 數據擷取：針對每次模擬，擷取定量指標：線材寬度/高度、接觸面積、再熱區域體積與最大冷卻速率。
5. 代理模型建構：使用高精度模擬數據來訓練一個快速運行的機器學習模型（例如，高斯過程回歸器），將輸入參數映射到輸出。
6. 多目標優化：使用代理模型搭配如NSGA-II等演算法，尋找能最佳權衡黏結強度與幾何保真度的帕雷托最優參數集。
7. 驗證：在建議的最優點執行最終的高精度模擬，以在物理測試前確認預測。

此框架將模擬從描述性工具轉變為製程發現的規範性引擎。

8. 未來應用與研究方向

本文建立的方法論開啟了幾個變革性的途徑：

• 多材料與複合材料列印：模擬不同聚合物的共同沉積或非連續纖維（短纖維複合材料）的加入，以預測纖維取向與產生的各向異性性質，這是Brenken等人（2018）關於纖維填充聚合物的研究中強調的挑戰。
• 功能梯度材料（FGMs）：沿著刀具路徑精確控制噴嘴溫度與速度，以局部改變材料微結構與性質，實現具有空間調控機械、熱或電特性的零件之數位製造。
• 閉迴路製程控制：將從這些高精度模擬推導出的快速代理模型，整合到即時控制系統中，該系統能根據現場感測器數據（例如，熱成像）動態調整參數。
• 新材料篩選：透過將新型聚合物配方或凝膠的流變與熱性質輸入模擬，虛擬測試其可列印性，大幅降低研發成本與時間。
• 與零件尺度模型整合：使用局部、高精度的結果（如黏結強度）來告知更快速的零件尺度有限元素模型，以預測整體機械性能與變形，為積層製造創建多尺度數位線程。

9. 參考文獻

1. Xia, H., Lu, J., Dabiri, S., & Tryggvason, G. (年份). Fully Resolved Numerical Simulations of Fused Deposition Modeling. Part I — Fluid Flow. 期刊名稱, 卷號(期號), 頁碼.
2. Tryggvason, G., Bunner, B., Esmaeeli, A., Juric, D., Al-Rawahi, N., Tauber, W., Han, J., Nas, S., & Jan, Y.-J. (2001). A Front-Tracking Method for the Computations of Multiphase Flow. Journal of Computational Physics, 169(2), 708-759.
3. Tryggvason, G., Scardovelli, R., & Zaleski, S. (2011). Direct Numerical Simulations of Gas–Liquid Multiphase Flows. Cambridge University Press.
4. Spalart, P. R. (2015). Philosophies and Fallacies in Turbulence Modeling. Progress in Aerospace Sciences, 74, 1-15.
5. Brenken, B., Barocio, E., Favaloro, A., Kunc, V., & Pipes, R. B. (2018). Fused filament fabrication of fiber-reinforced polymers: A review. Additive Manufacturing, 21, 1-16.
6. Sun, Q., Rizvi, G. M., Bellehumeur, C. T., & Gu, P. (2008). Effect of processing conditions on the bonding quality of FDM polymer filaments. Rapid Prototyping Journal, 14(2), 72-80.
7. Zhu, J.-Y., Park, T., Isola, P., & Efros, A. A. (2017). Unpaired Image-to-Image Translation using Cycle-Consistent Adversarial Networks. Proceedings of the IEEE International Conference on Computer Vision (ICCV). （作為解決複雜問題的兩部分生成框架範例引用，類似於此FDM模擬工作的兩部分結構）。