熔融沉積成型噴嘴形狀之數值優化

目錄

1. 緒論

熔融沉積成型（FDM）是一種主流的積層製造技術，以其成本效益和材料多樣性而備受青睞。然而，在不犧牲精度的前提下實現高列印速度，仍然是一項重大挑戰，這主要受限於擠出噴嘴內的壓力損失。雖然製程參數優化很常見，但噴嘴本身的幾何設計卻常被忽視，大多數系統依賴於標準的圓錐形狀。本研究透過提出一個用於優化噴嘴幾何形狀以最小化壓力損失的數值框架，來彌補這一缺口，從而實現更高的可行列印速度。本研究關鍵性地比較了兩種聚合物熔體流動的基本本構模型：一個與溫度相關、具剪切稀化特性的黏性模型，以及一個等溫的黏彈性模型。

2. 方法論

2.1. 流動建模

分析的核心在於模擬聚合物熔體的非牛頓流動。採用了兩種模型：

• 黏性模型： 一種廣義牛頓流體模型，其中黏度 ($\eta$) 是剪切速率 ($\dot{\gamma}$) 和溫度 (T) 的函數，通常遵循 Carreau 或冪律模型：$\eta(\dot{\gamma}, T) = \eta_0(T) [1 + (\lambda \dot{\gamma})^2]^{(n-1)/2}$。此模型捕捉了剪切稀化效應，但忽略了彈性效應。
• 黏彈性模型： 一種等溫模型，考慮了流體的記憶性和彈性應力，通常使用微分形式的本構方程，如 Giesekus 或 Phan-Thien–Tanner 模型。這對於預測擠出物膨脹等現象至關重要。

有限元素法（FEM）用於在噴嘴域內求解這些模型的支配方程式（質量守恆和動量守恆）。

2.2. 形狀參數化

噴嘴形狀以參數化方式定義，以便進行優化：

• 簡單參數化： 噴嘴輪廓由一個具有可變半開角 ($\alpha$) 的直線收斂段定義。
• 進階參數化： 輪廓由一條 B 樣條曲線描述，由一組控制點控制。這允許產生簡單角度無法表示的複雜、非圓錐形狀。

2.3. 優化框架

建立了一個基於梯度的優化迴圈。目標函數是從噴嘴入口到出口的總壓降 ($\Delta P$)。設計變數是角度 ($\alpha$) 或 B 樣條控制點的座標。該框架迭代地調整幾何形狀、重新網格化計算域、重新模擬流動，並計算 $\Delta P$ 對設計變數的靈敏度，直到找到最小值。

3. 結果與討論

3.1. 黏性模型結果

對於黏性模型，最佳半開角 ($\alpha_{opt}$) 顯示出對體積流率（進料速率）的強烈依賴性。

• 高流率： 傾向於較小的收斂角，$\alpha_{opt}$ 接近 30°。在高流率下，較陡的收斂度能最小化高剪切長窄區域中的黏性耗散。
• 低流率： 允許較大的最佳角度（例如 60°-70°）。流動較少受剪切主導，較平緩的錐度能減少入口效應。

圖表說明： 不同流率下 $\Delta P$ 對 $\alpha$ 的圖表將顯示出不同的最小值點，隨著流率增加，最小值點向左移動（朝向更小的角度）。

3.2. 黏彈性模型結果

相比之下，黏彈性模型預測了 $\alpha_{opt}$ 對進料速率的依賴性要弱得多。在不同流動條件下，最佳角度保持在一個較窄的範圍內。這歸因於黏性剪切應力和彈性法向應力的競爭效應，它們對幾何形狀的敏感度不同。黏性模型無法捕捉的彈性應力，改變了最佳流動路徑。

3.3. 比較與關鍵見解

1. 模型選擇至關重要： 本構模型從根本上改變了優化結果。使用簡單黏性模型優化的設計，對於真實的黏彈性熔體可能並非最佳，特別是當彈性擠出物膨脹影響沉積精度時。

2. 複雜度的效益遞減： 一個關鍵發現是，與簡單的角度優化相比，進階的 B 樣條參數化在降低壓力損失方面僅帶來微小的改進。這表明，對於最小化 $\Delta P$ 的主要目標，一個具有適當選擇角度的簡單圓錐形噴嘴幾乎就是最佳解。複雜形狀的價值可能在於解決次要目標（例如，控制膨脹、減少滯流區）。

3. 依賴流率的設計： 對於黏性主導的流動（或某些材料），結果支持採用適應性或針對特定應用的噴嘴設計，而非「一體適用」的方法，特別是在目標涵蓋廣泛列印速度範圍時。

4. 技術細節

不可壓縮流動的支配方程式為：

質量守恆： $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

動量守恆： $\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \boldsymbol{\tau}$

其中 $\mathbf{v}$ 是速度，$p$ 是壓力，$\rho$ 是密度，$\boldsymbol{\tau}$ 是偏應力張量。

對於黏性模型： $\boldsymbol{\tau} = 2 \eta(\dot{\gamma}, T) \mathbf{D}$，其中 $\mathbf{D}$ 是變形速率張量。

對於黏彈性模型（例如 Giesekus）：
$\boldsymbol{\tau} + \lambda \stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}} + \frac{\alpha_G}{\eta} (\boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\tau}) = 2 \eta \mathbf{D}$
其中 $\lambda$ 是鬆弛時間，$\alpha_G$ 是遷移率參數，$\stackrel{\triangledown}{\boldsymbol{\tau}}$ 是上隨流導數。

5. 分析框架範例

案例研究：為高速 PLA 列印進行優化

目標： 設計一個用於以 150 mm/s 層速列印 PLA 的噴嘴。

步驟：

1. 材料特性分析： 取得 PLA 在列印溫度（例如 210°C）下的流變數據，以擬合 Carreau-Yasuda（黏性）和 Giesekus（黏彈性）模型的參數。
2. 基準模擬： 模擬一個標準的 30° 圓錐形噴嘴。使用兩種模型進行模擬，以建立基準 $\Delta P$ 和流場。
3. 角度掃描（先黏性）： 執行黏性優化迴圈，將 $\alpha$ 從 15° 變化到 75°。識別 $\alpha_{opt}^{visc}$（高速下約為 30-35°）。
4. 黏彈性驗證： 使用黏彈性模型模擬步驟 3 的幾何形狀。比較 $\Delta P$ 並觀察擠出物膨脹預測。
5. 權衡分析： 如果黏彈性模型的 $\Delta P$ 可接受且膨脹得到控制，則採用簡單的圓錐形設計。否則，使用 B 樣條框架啟動多目標優化（最小化 $\Delta P$ 和膨脹）。

這種結構化的方法優先考慮簡單性和基於模型的決策。

6. 未來應用與方向

• 多物理場與多目標優化： 未來的工作必須整合熱傳遞以模擬非等溫流動，並將流動優化與最小化熱降解或提高層間黏合強度等目標結合。
• 機器學習輔助設計： 利用神經網路等技術作為代理模型，類似於空氣動力學形狀優化中的進展（參見 Journal of Fluid Mechanics, Vol. 948, 2022），可以大幅降低探索 B 樣條所實現的複雜設計空間的計算成本。
• 主動式或多材料噴嘴： 探索具有內部導流器或由不同熱性能材料製成區段的設計，以主動管理剪切和溫度分佈。
• 基準測試標準化： 學術界與產業界將受益於 FDM 噴嘴流動的標準化基準案例，類似於黏彈性流動的 4:1 平面收縮流，以便比較不同的模型和優化方法。

7. 參考文獻

1. Bird, R. B., Armstrong, R. C., & Hassager, O. (1987). Dynamics of Polymeric Liquids, Vol 1: Fluid Mechanics. Wiley.
2. Haleem, A., et al. (2017). Role of feed force in FDM: A review. Rapid Prototyping Journal.
3. Nzebuka, G. C., et al. (2022). CFD analysis of polymer flow in FDM nozzles. Physics of Fluids.
4. Schuller, M., et al. (2024). High-speed FDM: Challenges in feeding mechanics. Additive Manufacturing.
5. Zhu, J., et al. (2022). Deep learning for aerodynamic shape optimization. Journal of Fluid Mechanics, 948, A34. （優化中機器學習的外部參考）
6. 開源 CFD 軟體： OpenFOAM 與 FEATool 用於多物理場模擬。

8. 專家分析：批判性觀點