多軸積層製造之奇異點感知運動規劃

1. 緒論

多軸積層製造（MAAM）代表了超越傳統平面層式3D列印的重大演進。透過實現沿著動態變化方向（例如，沿著曲面法向量）的材料沉積，MAAM系統為長期存在的問題提供了解決方案，例如對支撐結構的需求、層間強度薄弱以及曲面上的階梯狀瑕疵。然而，這種增加的幾何自由度帶來了複雜的運動規劃挑戰，尤其是在將設計的刀具路徑實現在通常結合三個平移軸與兩個旋轉軸的硬體平台上時。

1.1 MAAM中的運動規劃問題

核心挑戰在於工件座標系（WCS，刀具路徑在此設計）與機器座標系（MCS，控制物理致動器）之間的非線性映射。當刀具方向接近垂直時——此區域稱為運動學奇異點——WCS中平滑、均勻取樣的刀具路徑可能被映射到MCS中高度不連續的運動。在線材式積層製造中，這種不連續性會破壞穩定的擠出流，導致過度擠出或擠出不足，表現為表面瑕疵並損害機械完整性。與CNC銑削可以暫停運動不同，積層製造需要連續運動，並且必須遵守擠出頭物理極限所決定的嚴格速度限制（$f_{min} \leq v_{tip} \leq f_{max}$）。此外，碰撞避免必須整合到規劃過程中。

2. 背景與相關研究

2.1 多軸積層製造系統

存在多種硬體配置，包括具有傾斜旋轉工作台（例如，3+2軸）或機械手臂（6自由度）的系統。這些系統透過將沉積方向與曲面法向量對齊，實現了懸垂結構的無支撐列印。

2.2 曲面層之刀具路徑生成

研究重點在於生成非平面、曲面層的刀具路徑以優化強度和表面光潔度。然而，這些複雜路徑的物理實現往往被忽視。

2.3 多軸CNC加工中的奇異點

奇異點是五軸CNC加工中一個眾所周知的問題，當刀具軸線與旋轉軸對齊時，會導致逆運動學解出現數學上的不連續性。傳統的CNC解決方案通常涉及刀具路徑修改或重新參數化，但由於需要連續擠出和有界速度，它們無法直接應用於積層製造。

3. 提出方法論

3.1 問題描述

輸入是在WCS中定義為一系列路點 $\mathbf{W}_i = (\mathbf{p}_i, \mathbf{n}_i)$ 的刀具路徑，其中 $\mathbf{p}_i$ 是位置，$\mathbf{n}_i$ 是噴嘴方向（通常是曲面法向量）。目標是為典型的五軸機器（XYZAC）找到MCS中對應的運動序列 $\mathbf{M}_j = (x_j, y_j, z_j, A_j, C_j)$，該序列應：

1. 避免運動學奇異點或管理其影響。
2. 保持連續性以確保不間斷的擠出。
3. 將噴嘴尖端速度保持在 $[v_{min}, v_{max}]$ 範圍內。
4. 避免列印頭與零件之間的碰撞。

3.2 奇異點感知運動規劃演算法

本文提出一種演算法，用於識別刀具路徑中的奇異區域（例如，法向量垂直分量接近1的區域）。它不是在WCS中簡單地均勻取樣路點，而是在這些區域執行自適應取樣和局部刀具路徑優化。這可能涉及方向的輕微偏離或運動的重新計時，以平滑旋轉軸（$A$, $C$）中的不連續跳躍，從而防止噴嘴尖端速度的突然變化。

3.3 整合式碰撞避免

運動規劃器整合了一個基於取樣的碰撞檢查器。當在規劃避免奇異點的運動過程中檢測到潛在碰撞時，演算法會迭代調整刀具路徑或機器姿態，直到找到無碰撞且管理了奇異點的解決方案。

4. 技術細節與數學公式

可以表達具有傾斜旋轉工作台（工作台上有AC軸）的典型五軸機器的逆運動學。WCS中的刀具方向向量 $\mathbf{n} = (n_x, n_y, n_z)$ 被映射到旋轉角度 $A$（傾斜）和 $C$（旋轉）。一個常見的公式是：

$A = \arccos(n_z)$

$C = \operatorname{atan2}(n_y, n_x)$

當 $n_z \approx \pm 1$（即 $A \approx 0^\circ$ 或 $180^\circ$）時發生奇異點，此時 $C$ 變為未定義——一種萬向節鎖死情況。將關節速度與刀具尖端速度相關聯的雅可比矩陣在此處變得病態。本文的演算法可能監控此雅可比矩陣的條件數或 $n_z$ 的值來檢測奇異區域。規劃的核心在於求解一個最小化成本函數 $J$ 的最佳化問題：

$J = \alpha J_{continuity} + \beta J_{speed} + \gamma J_{singularity} + \delta J_{collision}$

其中 $J_{continuity}$ 懲罰MCS運動中的不連續性，$J_{speed}$ 確保尖端速度界限，$J_{singularity}$ 懲罰接近奇異配置，$J_{collision}$ 是碰撞懲罰。權重 $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ 平衡這些目標。

5. 實驗結果與分析

5.1 實驗設置

該方法在一台定製的五軸3D印表機（XYZ平移，AC旋轉台）上進行了驗證，用於製造具有曲面層的模型，如史丹佛兔子。

5.2 製造品質比較

圖1（參考自PDF）： 展示了清晰的視覺比較。使用傳統規劃列印的兔子（圖1a）在圈出的區域顯示出嚴重的表面瑕疵（過度/擠出不足），這些區域對應於曲面法向量接近垂直（奇異區域）的區域。使用本文提出的奇異點感知規劃列印的兔子（圖1c）在相同區域顯示出明顯更平滑的表面。圖1b以黃色視覺化地突顯了位於奇異區域的路點，展示了演算法的檢測能力。

5.3 運動連續性與速度分析

旋轉軸角度（$A$, $C$）和計算出的噴嘴尖端速度隨時間變化的圖表將顯示，所提出的方法平滑了在傳統方法中觀察到的旋轉角度的近乎不連續的跳躍。因此，噴嘴尖端速度保持在穩定的擠出窗口 $[v_{min}, v_{max}]$ 內，而傳統方法則導致速度尖峰或降至接近零，這直接解釋了擠出缺陷。

6. 分析框架：非程式碼案例研究

情境： 列印一個具有垂直對稱軸的圓頂形物體。
挑戰： 圓頂的頂點具有垂直法向量（$n_z=1$），使其直接處於奇異配置中。從底部到頂點的螺旋刀具路徑會導致C軸在接近頂部時不受控制地旋轉。
提出方法的應用：

1. 檢測： 演算法將閾值內（例如 $n_z > 0.98$）的路點識別為奇異區域。
2. 規劃： 規劃器不會強迫刀具在頂點處完全垂直指向，而是可能在頂點周圍的幾層引入輕微、受控的傾斜（例如 $A=5^\circ$）。這使得C軸保持良好定義。
3. 最佳化： 重新計時此區域的刀具路徑，以確保噴嘴以恆定、最佳速度移動，並且輕微的幾何偏差在相鄰的非奇異路徑中得到補償，以保持整體形狀保真度。
4. 結果： 實現了平滑、連續的運動，產生的圓頂在頂點處具有一致的表面光潔度，沒有凸塊或間隙。

7. 應用展望與未來方向

• 先進材料與製程： 這種規劃對於使用連續纖維複合材料或混凝土進行列印至關重要，因為這些材料的流量控制對運動不連續性更加敏感。
• 與衍生式設計整合： 未來的CAD/CAE軟體可以在衍生式設計階段，基於此奇異點模型整合「可製造性約束」，避免設計出在多軸系統上本質上難以平滑列印的模型。
• 用於路徑規劃的機器學習： 可以訓練強化學習代理，使其比傳統最佳化方法更有效地在奇異點避免、速度維持和碰撞避免之間的複雜權衡空間中導航。
• 標準化與雲端切片： 隨著多軸列印變得更加普及，基於雲端的切片服務可以提供奇異點優化的刀具路徑規劃作為高級功能，類似於當今支撐結構的優化方式。

8. 參考文獻

1. Ding, D., et al. (2015). A review on 5-axis CNC machining. International Journal of Machine Tools and Manufacture.
2. Chen, X., et al. (2021). Support-Free 3D Printing via Multi-Axis Motion. ACM Transactions on Graphics.
3. ISO/ASTM 52900:2021. Additive manufacturing — General principles — Terminology.
4. Müller, M., et al. (2022). Real-time trajectory planning for robotic additive manufacturing. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing.
5. The MathWorks, Inc. (2023). Robotics System Toolbox: Inverse Kinematics. [線上] 可取得：https://www.mathworks.com/help/robotics/ug/inverse-kinematics.html

9. 原創分析與專家評論