تعويض الاهتزازات في طابعة دلتا ثلاثية الأبعاد ذات الديناميكيات المتغيرة مع الموضع باستخدام B-Splines المرشحة

1. المقدمة

تكتسب روبوتات دلتا تفضيلًا متزايدًا في طباعة التصنيع بالانصهار الخيطي (FFF) ثلاثية الأبعاد نظرًا لقدراتها الفائقة في السرعة مقارنة بتصميمات المحاور التسلسلية التقليدية. ومع ذلك، غالبًا ما يتم تقويض ميزة السرعة هذه بسبب الاهتزازات غير المرغوب فيها التي تؤدي إلى تدهور جودة القطعة، وهي مشكلة تتفاقم بسبب الديناميكيات المزدوجة والمعتمدة على الموضع (غير الخطية) للروبوت. في حين أن تقنيات التحكم المسبق مثل B-Splines المرشحة (FBS) قد قمعت الاهتزاز بنجاح في الطابعات التسلسلية، فإن تطبيقها المباشر على طابعات دلتا يكون مكلفًا حسابيًا بدرجة كبيرة. يتناول هذا البحث عنق الزجاجة هذا من خلال اقتراح منهجية فعالة لتنفيذ تعويض الاهتزازات القائم على FBS في طابعات دلتا ثلاثية الأبعاد.

2. المنهجية

تتعامل الطريقة المقترحة مع التحديات الحسابية من خلال استراتيجية ثلاثية الأبعاد مصممة لجعل التحكم المسبق القائم على النموذج في الزمن الحقيقي ممكنًا على وحدات تحكم الطابعة محدودة الموارد.

2.1 تحديد المعلمات خارج الخط للديناميكيات المعتمدة على الموضع

يتم حساب العناصر المتغيرة مع الموضع في النموذج الديناميكي لروبوت دلتا مسبقًا وتحديد معلماتها خارج الخط. يتضمن ذلك إنشاء تمثيل مضغوط (على سبيل المثال، باستخدام متعددات الحدود أو منحنيات B-Spline) لكيفية تغير مصطلحات القصور الذاتي وكوريوليس/الطرد المركزي عبر مساحة العمل. أثناء التشغيل عبر الإنترنت، يمكن إعادة بناء النموذج الديناميكي الكامل في أي نقطة بكفاءة من خلال تقييم هذه الدوال ذات المعلمات المحددة مسبقًا، بدلاً من حساب الكينماتيكا والديناميكيات المعقدة من الصفر.

2.2 حساب النموذج في الزمن الحقيقي عند النقاط المأخوذة

بدلاً من إنشاء نموذج ديناميكي جديد لكل نقطة ضبط على طول مسار الأداة - وهي عملية ستكون بطيئة جدًا - تحسب وحدة التحكم النماذج فقط عند نقاط تم أخذها بشكل استراتيجي على طول المسار. ثم يتم توليد إشارة التحكم بين هذه النقاط المأخوذة باستخدام تقنيات الاستيفاء. وهذا يقلل بشكل كبير من تكرار العمليات الأكثر كثافة من الناحية الحسابية.

2.3 تحليل QR للكفاءة الحسابية

جوهر طريقة FBS يتضمن حل نظام من المعادلات الخطية لحساب مسار المرجع المفلتر مسبقًا. وهذا يتطلب انعكاس مصفوفة، وهي عملية ثقيلة حسابيًا. يقترح البحث استخدام تحليل QR لحل النظام بكفاءة أكبر. تحليل QR ($\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$) يحول المشكلة إلى حل $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$، وهو أرخص حسابيًا وأكثر استقرارًا عدديًا من الانعكاس المباشر، خاصة للمصفوفات ذات البنية الشائعة في هذا التطبيق.

3. التفاصيل التقنية والصياغة الرياضية

يمكن تمثيل ديناميكيات روبوت دلتا كنظام خطي متغير المعامل (LPV) نظرًا لقصوره الذاتي المعتمد على الموضع والازدواجية. تقوم طريقة FBS القياسية بعكس نموذج ديناميكي لتشكيل أمر المرجع مسبقًا. بالنسبة لنظام زمن منفصل، يرتبط المخرج $y[k]$ بالمدخل $u[k]$ من خلال دالة نقل. تصمم طريقة FBS مرشحًا $F(z)$ بحيث عند تطبيقه على مرجع محدد بـ B-spline $r[k]$، يتتبع المخرج الفعلي المسار المطلوب $y_d[k]$ عن كثب: $y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$. وهذا يتطلب حل معاملات المرشح، مما يتضمن عكس مصفوفة مشتقة من معلمات ماركوف للنظام.

ينشأ التحدي الحسابي لأن نموذج المنظومة $G(z, \theta)$ لروبوت دلتا يختلف مع الموضع $\theta$. تصبح المصفوفة المراد عكسها، $\mathbf{H}(\theta)$، معتمدة على الموضع: $\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$. تقترح الطريقة تقريب هذا كـ $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$ عند المواضع المأخوذة $\theta_i$، وتستخدم تحليل QR ($\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$) لحل $\mathbf{f}_i$ بكفاءة عند كل عينة. يتم استيفاء المرشح للنقاط الوسيطة من هذه الحلول المأخوذة.

4. النتائج التجريبية والأداء

4.1 نتائج المحاكاة: تسريع الحسابات

قارنت عمليات المحاكاة الطريقة المقترحة مع وحدة تحكم تستخدم نموذج LPV الدقيق والمحدث باستمرار. حققت الطريقة المقترحة - التي تجمع بين تحديد المعلمات خارج الخط، وأخذ عينات النموذج، وتحليل QR - تقليلًا في وقت الحساب يصل إلى 23 ضعفًا، مع الحفاظ على دقة التتبع ضمن 5٪ من الطريقة الدقيقة. وهذا يوضح فعالية الطريقة في التغلب على عنق الزجاجة الحسابي الأساسي.

4.2 التحقق التجريبي: جودة الطباعة وتقليل الاهتزاز

أجريت التجارب على طابعة دلتا ثلاثية الأبعاد. تمت مقارنة وحدة التحكم المقترحة مع وحدة تحكم أساسية تستخدم نموذجًا خطيًا ثابتًا زمنيًا (LTI) واحدًا تم تحديده عند موضع واحد في مساحة العمل.

• جودة الطباعة: أظهرت الأجزاء المطبوعة في مواقع مختلفة على لوحة البناء تحسينات كبيرة في الجودة مع وحدة التحكم المقترحة. كانت الميزات أكثر حدة، مع تقليل ظواهر الرنين والظلال الشائعة في طباعة دلتا عالية السرعة.
• قياس الاهتزاز: أكدت بيانات مقياس التسارع المسجلة أثناء الطباعة مصدر تحسن الجودة. قللت وحدة التحكم المقترحة من سعات الاهتزاز بأكثر من 20٪ عبر مساحة العمل مقارنة بوحدة التحكم الأساسية LTI.

وصف الرسم البياني (ضمنيًا): من المحتمل أن يظهر رسم بياني شريطي سعة الاهتزاز (بوحدة g) على المحور Y لمواضع طباعة مختلفة (المحور X)، مع شريطين لكل موضع: أحدهما لوحدة التحكم الأساسية LTI (أعلى) والآخر لوحدة التحكم المقترحة FBS (أقل بشكل ملحوظ). يمكن أن يصور رسم بياني خطي متراكب وقت الحساب لكل مقطع مسار، موضحًا خطًا مسطحًا ومنخفضًا للطريقة المقترحة مقابل خط مرتفع ومتغير للطريقة الدقيقة LPV.

5. إطار التحليل ومثال حالة

إطار لتقييم جدوى التحكم في الزمن الحقيقي:
عند تكييف خوارزمية مكثفة حسابيًا (مثل FBS LPV الكامل) لمنصة محدودة الموارد (مثل متحكم دقيق قائم على ARM لطابعة ثلاثية الأبعاد)، يلزم تحليل منهجي:

1. تحديد عنق الزجاجة: تحليل الخوارزمية للعثور على العمليات الأكثر استهلاكًا للوقت (مثل انعكاس المصفوفة، حساب النموذج الديناميكي الكامل).
2. استراتيجية التقريب: تحديد العمليات الحسابية التي يمكن تقريبها (مثل أخذ عينات النموذج مقابل التحديث المستمر) أو حسابها مسبقًا (تحديد المعلمات خارج الخط) مع الحد الأدنى من فقدان الأداء.
3. التحسين العددي: استبدال الإجراءات العامة بأخرى محسنة لهيكل المشكلة المحدد (مثل تحليل QR للمصفوفات ذات البنية).
4. التحقق: اختبار الخوارزمية المبسطة مقابل الأصل في المحاكاة للتأكد من الدقة، ثم على الأجهزة لأداء الزمن الحقيقي والفعالية العملية.

مثال حالة - تطبيق الإطار:
لمشروع طابعة دلتا هذا: كان عنق الزجاجة هو الانعكاس عبر الإنترنت لمصفوفة معتمدة على الموضع. كانت استراتيجية التقريب هي حساب النماذج فقط عند نقاط مسار مأخوذة. كان التحسين العددي هو استخدام تحليل QR. أظهر التحقق تسريعًا بمقدار 23 ضعفًا مع الحفاظ على الدقة، مما يثبت الجدوى.

6. التطبيقات المستقبلية واتجاهات البحث

• تطبيقات روبوتية أوسع: هذه المنهجية قابلة للتطبيق مباشرة على روبوتات متوازية أخرى (مثل منصات ستيوارت، وأنظمة تشبه SCARA) والروبوتات التسلسلية ذات المرونة الكبيرة المعتمدة على التكوين، حيث يكون التحكم القائم على النموذج في الزمن الحقيقي أمرًا صعبًا.
• التكامل مع الطرق القائمة على التعلم: يمكن تحسين النموذج ذي المعلمات المحسوبة خارج الخط أو تكييفه عبر الإنترنت باستخدام انحدار العملية الغوسية أو الشبكات العصبية لمراعاة الديناميكيات غير الممثلة أو التآكل، كما هو الحال في أبحاث التحكم التكيفي المتقدمة من مؤسسات مثل CSAIL التابع لمعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
• المعالجة المشتركة بين السحابة والحافة: يمكن تفويض تحديد المعلمات خارج الخط الأكثر ثقلًا حسابيًا والتخطيط المسبق للمسار إلى خدمة سحابية، مع تشغيل النموذج المأخوذ الخفيف وحل QR على جهاز الحافة الخاص بالطابعة.
• التوحيد القياسي في البرامج الثابتة: يمكن دمج المبادئ في برامج الطابعة ثلاثية الأبعاد مفتوحة المصدر (مثل Klipper، Marlin) كميزة متميزة لطابعات دلتا وCoreXY عالية السرعة، مما يجعل الوصول إلى تعويض الاهتزازات المتقدم متاحًا للجميع.

7. المراجع

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. التحليل الأصلي والتعليق الخبير