جبران ارتعاش در پرینتر سه‌بعدی دلتا با دینامیک متغیر با موقعیت با استفاده از B-Splineهای فیلترشده

1. مقدمه

ربات‌های دلتا به دلیل قابلیت‌های سرعت برترشان در مقایسه با طراحی‌های سنتی با محورهای سری، بیش از پیش در چاپ سه‌بعدی ساخت رشته‌ای ذوب‌شده (FFF) مورد توجه قرار می‌گیرند. با این حال، این مزیت سرعت اغلب توسط ارتعاشات نامطلوبی که کیفیت قطعه را کاهش می‌دهند، تضعیف می‌شود؛ مشکلی که توسط دینامیک کوپل شده و وابسته به موقعیت (غیرخطی) ربات تشدید می‌شود. در حالی که تکنیک‌های کنترل پیش‌خور مانند B-Splineهای فیلترشده (FBS) با موفقیت ارتعاش را در پرینترهای سری سرکوب کرده‌اند، کاربرد مستقیم آن‌ها در پرینترهای دلتا از نظر محاسباتی غیرممکن است. این مقاله با ارائه یک روش کارآمد برای پیاده‌سازی جبران ارتعاش مبتنی بر FBS روی پرینترهای سه‌بعدی دلتا، به این گلوگاه می‌پردازد.

2. روش‌شناسی

رویکرد پیشنهادی، چالش‌های محاسباتی را از طریق یک استراتژی سه‌جانبه هدف قرار می‌دهد که برای امکان‌پذیر کردن کنترل پیش‌خور مبتنی بر مدل بلادرنگ روی کنترلرهای پرینتر با منابع محدود طراحی شده است.

2.1 پارامترسازی آفلاین دینامیک وابسته به موقعیت

عناصر متغیر با موقعیت مدل دینامیکی ربات دلتا، به‌صورت آفلاین از پیش محاسبه و پارامترسازی می‌شوند. این شامل ایجاد یک نمایش فشرده (مثلاً با استفاده از برازش چندجمله‌ای یا اسپلاین) از چگونگی تغییر عبارات اینرسی و کوریولیس/گریز از مرکز در سراسر فضای کاری است. در حین عملیات آنلاین، مدل دینامیکی کامل در هر نقطه را می‌توان با ارزیابی این توابع پارامترشده از پیش تعریف شده، به‌طور کارآمد بازسازی کرد، نه با محاسبه سینماتیک و دینامیک پیچیده از ابتدا.

2.2 محاسبه مدل بلادرنگ در نقاط نمونه‌برداری شده

به جای تولید یک مدل دینامیکی جدید برای هر نقطه تنظیم در طول مسیر ابزار — فرآیندی که بسیار کند خواهد بود — کنترلر مدل‌ها را فقط در نقاط نمونه‌برداری شده استراتژیک در طول مسیر محاسبه می‌کند. سپس ورودی کنترل بین این نقاط نمونه‌برداری شده با استفاده از تکنیک‌های درون‌یابی تولید می‌شود. این امر به‌طور قابل توجهی فرکانس عملیات‌های با بار محاسباتی سنگین را کاهش می‌دهد.

2.3 تجزیه QR برای کارایی محاسباتی

هسته روش FBS شامل حل یک سیستم معادلات خطی برای محاسبه مسیر مرجع پیش‌فیلترشده است. این کار نیاز به وارون ماتریس دارد که از نظر محاسباتی سنگین است. مقاله پیشنهاد می‌کند از تجزیه QR برای حل کارآمدتر سیستم استفاده شود. تجزیه QR ($\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$) مسئله را به حل $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$ تبدیل می‌کند که از نظر محاسباتی ارزان‌تر و از نظر عددی پایدارتر از وارون مستقیم است، به ویژه برای ماتریس‌های ساختاریافته رایج در این کاربرد.

3. جزئیات فنی و فرمول‌بندی ریاضی

دینامیک یک ربات دلتا به دلیل اینرسی و کوپلینگ وابسته به موقعیت آن، می‌تواند به‌عنوان یک سیستم خطی با پارامتر متغیر (LPV) نمایش داده شود. رویکرد استاندارد FBS یک مدل دینامیکی را وارون می‌کند تا دستور مرجع را پیش‌شکل دهد. برای یک سیستم گسسته‌زمان، خروجی $y[k]$ از طریق یک تابع انتقال به ورودی $u[k]$ مرتبط است. روش FBS یک فیلتر $F(z)$ را طراحی می‌کند به طوری که وقتی روی یک مرجع تعریف‌شده با B-spline یعنی $r[k]$ اعمال شود، خروجی واقعی به‌طور نزدیکی مسیر مطلوب $y_d[k]$ را دنبال کند: $y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$. این کار نیاز به حل برای ضرایب فیلتر دارد که شامل وارون کردن ماتریسی مشتق‌شده از پارامترهای مارکوف سیستم است.

چالش محاسباتی از اینجا ناشی می‌شود که برای یک ربات دلتا، مدل پلنت $G(z, \theta)$ با موقعیت $\theta$ تغییر می‌کند. ماتریسی که باید وارون شود، $\mathbf{H}(\theta)$، وابسته به موقعیت می‌شود: $\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$. روش پیشنهادی این را به صورت $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$ در موقعیت‌های نمونه‌برداری شده $\theta_i$ تقریب می‌زند و از تجزیه QR ($\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$) برای حل کارآمد $\mathbf{f}_i$ در هر نمونه استفاده می‌کند. فیلتر برای نقاط میانی از این راه‌حل‌های نمونه‌برداری شده درون‌یابی می‌شود.

4. نتایج آزمایشی و عملکرد

4.1 نتایج شبیه‌سازی: افزایش سرعت محاسبات

شبیه‌سازی‌ها روش پیشنهادی را با یک کنترلر استفاده‌کننده از مدل دقیق و به‌طور پیوسته به‌روز شده LPV مقایسه کردند. روش پیشنهادی — که ترکیبی از پارامترسازی آفلاین، نمونه‌برداری مدل و تجزیه QR است — کاهش زمان محاسبات تا ۲۳ برابر را به دست آورد، در حالی که دقت ردیابی را در محدوده ۵٪ روش دقیق حفظ کرد. این امر اثربخشی روش را در غلبه بر گلوگاه اصلی محاسباتی نشان می‌دهد.

4.2 اعتبارسنجی تجربی: کیفیت چاپ و کاهش ارتعاش

آزمایش‌ها روی یک پرینتر سه‌بعدی دلتا انجام شد. کنترلر پیشنهادی با یک کنترلر پایه که از یک مدل خطی تغییرناپذیر با زمان (LTI) شناسایی شده در یک موقعیت در فضای کاری استفاده می‌کرد، مقایسه شد.

• کیفیت چاپ: قطعات چاپ شده در مکان‌های مختلف روی صفحه ساخت، بهبود کیفیت قابل توجهی با کنترلر پیشنهادی نشان دادند. ویژگی‌ها واضح‌تر بودند، با کاهش آثار حلقه‌ای و سایه‌ای رایج در چاپ دلتای پرسرعت.
• اندازه‌گیری ارتعاش: داده‌های شتاب‌سنج ثبت شده در حین چاپ، منبع بهبود کیفیت را تأیید کرد. کنترلر پیشنهادی دامنه ارتعاشات را در سراسر فضای کاری بیش از ۲۰٪ در مقایسه با کنترلر پایه LTI کاهش داد.

توضیح نمودار (ضمنی): یک نمودار میله‌ای احتمالاً دامنه ارتعاش (بر حسب g) را روی محور Y برای موقعیت‌های چاپ مختلف (محور X) نشان می‌دهد، با دو میله برای هر موقعیت: یکی برای کنترلر پایه LTI (بالاتر) و یکی برای کنترلر پیشنهادی FBS (به‌طور قابل توجه پایین‌تر). یک نمودار خطی روی‌هم‌گذاری شده می‌تواند زمان محاسبات برای هر بخش مسیر را به تصویر بکشد و یک خط صاف و پایین برای روش پیشنهادی در مقابل یک خط متغیر و بالا برای روش دقیق LPV نشان دهد.

5. چارچوب تحلیل و مثال موردی

چارچوب برای ارزیابی امکان‌پذیری کنترل بلادرنگ:
هنگام تطبیق یک الگوریتم با بار محاسباتی سنگین (مانند FBS LPV کامل) برای یک پلتفرم با منابع محدود (مانند ریزکنترلگر مبتنی بر ARM یک پرینتر سه‌بعدی)، یک تحلیل سیستماتیک مورد نیاز است:

1. شناسایی گلوگاه: پروفایل الگوریتم برای یافتن عملیات‌های زمان‌بر (مانند وارون ماتریس، محاسبه مدل دینامیکی کامل).
2. استراتژی تقریب: تعیین اینکه کدام محاسبات را می‌توان با حداقل افت عملکرد تقریب زد (مانند نمونه‌برداری مدل در مقابل به‌روزرسانی پیوسته) یا از پیش محاسبه کرد (پارامترسازی آفلاین).
3. بهینه‌سازی عددی: جایگزینی روال‌های عمومی با روال‌های بهینه‌شده برای ساختار مسئله خاص (مانند تجزیه QR برای ماتریس‌های ساختاریافته).
4. اعتبارسنجی: آزمایش الگوریتم ساده‌شده در برابر الگوریتم اصلی در شبیه‌سازی برای وفاداری، سپس روی سخت‌افزار برای عملکرد بلادرنگ و اثربخشی عملی.

مثال موردی - اعمال چارچوب:
برای این پروژه پرینتر دلتا: گلوگاه، وارون آنلاین یک ماتریس وابسته به موقعیت بود. استراتژی تقریب، محاسبه مدل‌ها فقط در نقاط نمونه‌برداری شده مسیر بود. بهینه‌سازی عددی، استفاده از تجزیه QR بود. اعتبارسنجی افزایش سرعت ۲۳ برابری با حفظ دقت را نشان داد که امکان‌پذیری را اثبات کرد.

6. کاربردهای آتی و جهت‌های پژوهشی

• کاربردهای رباتیک گسترده‌تر: این روش‌شناسی مستقیماً برای سایر ربات‌های موازی (مانند سکوهای استوارت، سیستم‌های شبه SCARA) و ربات‌های سری با انعطاف‌پذیری قابل توجه وابسته به پیکربندی، که کنترل مبتنی بر مدل بلادرنگ در آن‌ها چالش‌برانگیز است، قابل اعمال است.
• ادغام با روش‌های مبتنی بر یادگیری: مدل پارامترشده آفلاین را می‌توان با استفاده از رگرسیون فرآیند گاوسی یا شبکه‌های عصبی برای در نظر گرفتن دینامیک مدل‌نشده یا سایش، بهبود داد یا به‌صورت آنلاین تطبیق داد، همان‌طور که در پژوهش‌های کنترل تطبیقی پیشرفته از مؤسساتی مانند CSAIL ام‌آی‌تی دیده می‌شود.
• پردازش مشترک ابر-لبه: سنگین‌ترین بخش محاسباتی پارامترسازی آفلاین و پیش‌برنامه‌ریزی مسیر را می‌توان به یک سرویس ابری واگذار کرد، در حالی که مدل نمونه‌برداری شده سبک‌وزن و حل‌کننده QR روی دستگاه لبه پرینتر اجرا می‌شود.
• استانداردسازی در فریم‌ور: اصول می‌تواند در فریم‌ور پرینترهای سه‌بعدی متن‌باز (مانند Klipper، Marlin) به‌عنوان یک ویژگی ممتاز برای پرینترهای دلتا و CoreXY پرسرعت ادغام شود و دسترسی به جبران ارتعاش پیشرفته را همگانی کند.

7. مراجع

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. تحلیل اصلی و تفسیر کارشناسی