위치 변화 역학을 갖는 델타 3D 프린터의 필터링된 B-스플라인을 이용한 진동 보상

1. 서론

델타 로봇은 기존의 직렬 축 설계에 비해 우수한 속도 능력으로 인해 FFF(Fused Filament Fabrication) 3D 프린팅에서 점점 더 선호되고 있습니다. 그러나 이러한 속도 장점은 부품 품질을 저하시키는 원치 않는 진동으로 인해 종종 훼손되며, 이 문제는 로봇의 결합된 위치 의존적(비선형) 역학으로 인해 악화됩니다. 필터링된 B-스플라인(FBS)과 같은 피드포워드 제어 기술이 직렬 프린터의 진동을 성공적으로 억제했지만, 이를 델타 프린터에 직접 적용하는 것은 계산적으로 불가능합니다. 본 논문은 델타 3D 프린터에서 FBS 기반 진동 보상을 구현하기 위한 효율적인 방법론을 제안함으로써 이 병목 현상을 해결합니다.

2. 방법론

제안된 접근 방식은 자원이 제한된 프린터 컨트롤러에서 실시간 모델 기반 피드포워드 제어를 실현 가능하게 만들도록 설계된 세 가지 전략을 통해 계산적 문제를 해결합니다.

2.1 위치 의존 역학의 오프라인 매개변수화

델타 로봇의 동적 모델에서 위치에 따라 변하는 요소들은 오프라인에서 사전 계산되고 매개변수화됩니다. 이는 관성 및 코리올리/원심력 항이 작업 공간 전체에서 어떻게 변화하는지에 대한 간결한 표현(예: 다항식 또는 스플라인 피팅 사용)을 생성하는 것을 포함합니다. 온라인 작동 중에는 복잡한 운동학 및 역학을 처음부터 계산하는 대신, 이러한 사전 정의된 매개변수화된 함수를 평가함으로써 임의의 지점에서의 전체 동적 모델을 효율적으로 재구성할 수 있습니다.

2.2 샘플링 지점에서의 실시간 모델 계산

툴패스 상의 모든 설정점에 대해 새로운 동적 모델을 생성하는(너무 느린 과정) 대신, 컨트롤러는 궤적을 따라 전략적으로 샘플링된 지점에서만 모델을 계산합니다. 그런 다음 이러한 샘플링 지점 사이의 제어 입력은 보간 기술을 사용하여 생성됩니다. 이는 계산 집약적인 작업의 빈도를 크게 줄입니다.

2.3 계산 효율성을 위한 QR 분해

FBS 방법의 핵심은 사전 필터링된 기준 궤적을 계산하기 위해 선형 방정식 시스템을 푸는 것입니다. 이는 계산량이 많은 행렬 역행렬을 필요로 합니다. 본 논문은 시스템을 더 효율적으로 풀기 위해 QR 분해를 사용할 것을 제안합니다. QR 분해($\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$)는 문제를 $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$를 푸는 것으로 변환하며, 이는 직접 역행렬을 구하는 것보다 계산 비용이 적고 수치적 안정성이 높습니다. 특히 이 응용 분야에서 흔히 나타나는 구조화된 행렬의 경우 더욱 그렇습니다.

3. 기술적 세부사항 및 수학적 공식화

델타 로봇의 역학은 위치 의존적 관성과 결합으로 인해 선형 매개변수 변화(LPV) 시스템으로 표현될 수 있습니다. 표준 FBS 접근 방식은 기준 명령을 사전에 형성하기 위해 동적 모델을 역변환합니다. 이산 시간 시스템의 경우, 출력 $y[k]$는 전달 함수를 통해 입력 $u[k]$와 관련됩니다. FBS 방법은 B-스플라인으로 정의된 기준 $r[k]$에 적용될 때 실제 출력이 원하는 궤적 $y_d[k]$를 밀접하게 추적하도록 필터 $F(z)$를 설계합니다: $y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$. 이는 시스템의 마르코프 매개변수에서 파생된 행렬의 역행렬을 구하는 것을 포함하는 필터 계수를 푸는 것을 필요로 합니다.

계산적 문제는 델타 로봇의 경우 플랜트 모델 $G(z, \theta)$가 위치 $\theta$에 따라 변하기 때문에 발생합니다. 역행렬을 구해야 하는 행렬 $\mathbf{H}(\theta)$는 위치 의존적이 됩니다: $\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$. 제안된 방법은 이를 샘플링된 위치 $\theta_i$에서 $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$로 근사하고, QR 분해($\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$)를 사용하여 각 샘플에서 $\mathbf{f}_i$를 효율적으로 구합니다. 중간 지점의 필터는 이러한 샘플링된 해로부터 보간됩니다.

4. 실험 결과 및 성능

4.1 시뮬레이션 결과: 계산 속도 향상

시뮬레이션은 제안된 방법을 정확하고 지속적으로 업데이트되는 LPV 모델을 사용하는 컨트롤러와 비교했습니다. 오프라인 매개변수화, 모델 샘플링 및 QR 분해를 결합한 제안된 방법은 계산 시간을 최대 23배까지 줄였으며, 추적 정확도는 정확한 방법의 5% 이내로 유지했습니다. 이는 주요 계산 병목 현상을 극복하는 방법의 효과를 입증합니다.

4.2 실험적 검증: 출력 품질 및 진동 감소

델타 3D 프린터에서 실험이 수행되었습니다. 제안된 컨트롤러는 작업 공간 내 한 위치에서 식별된 단일 선형 시불변(LTI) 모델을 사용하는 기준 컨트롤러와 비교되었습니다.

• 출력 품질: 제안된 컨트롤러를 사용하여 빌드 플레이트의 다양한 위치에서 출력된 부품은 품질이 크게 향상되었습니다. 고속 델타 프린팅에서 흔히 나타나는 링잉과 고스팅 아티팩트가 감소하여 특징이 더 선명했습니다.
• 진동 측정: 출력 중 기록된 가속도계 데이터는 품질 향상의 원인을 확인시켜 주었습니다. 제안된 컨트롤러는 기준 LTI 컨트롤러에 비해 작업 공간 전체에서 진동 진폭을 20% 이상 감소시켰습니다.

차트 설명 (암시적): 막대 차트는 Y축에 진동 진폭(g 단위), X축에 다른 출력 위치를 표시할 가능성이 높으며, 각 위치마다 두 개의 막대가 있습니다: 하나는 기준 LTI 컨트롤러(더 높음), 다른 하나는 제안된 FBS 컨트롤러(상당히 낮음)입니다. 선 그래프 오버레이는 궤적 세그먼트당 계산 시간을 나타낼 수 있으며, 제안된 방법에 대해 낮고 평평한 선을, 정확한 LPV 방법에 대해 높고 변동이 큰 선을 보여줄 것입니다.

5. 분석 프레임워크 및 사례 연구

실시간 제어 실현 가능성 평가 프레임워크:
계산 집약적인 알고리즘(예: 전체 LPV FBS)을 자원이 제한된 플랫폼(예: 3D 프린터의 ARM 기반 마이크로컨트롤러)에 적용할 때는 체계적인 분석이 필요합니다:

1. 병목 현상 식별: 알고리즘을 프로파일링하여 가장 시간이 많이 소요되는 작업(예: 행렬 역행렬, 전체 동적 모델 계산)을 찾습니다.
2. 근사 전략: 최소한의 성능 손실로 어떤 계산을 근사(예: 모델 샘플링 대 지속적 업데이트)하거나 사전 계산(오프라인 매개변수화)할 수 있는지 결정합니다.
3. 수치 최적화: 일반적인 루틴을 특정 문제 구조에 최적화된 루틴(예: 구조화된 행렬에 대한 QR 분해)으로 대체합니다.
4. 검증: 단순화된 알고리즘을 원본과 시뮬레이션에서 충실도에 대해 테스트한 다음, 하드웨어에서 실시간 성능과 실제 효능에 대해 테스트합니다.

사례 연구 - 프레임워크 적용:
이 델타 프린터 프로젝트의 경우: 병목 현상은 위치 의존적 행렬의 온라인 역행렬이었습니다. 근사 전략은 샘플링된 궤적 지점에서만 모델을 계산하는 것이었습니다. 수치 최적화는 QR 분해를 사용하는 것이었습니다. 검증은 정확도를 유지하면서 23배의 속도 향상을 보여주어 실현 가능성을 입증했습니다.

6. 미래 적용 분야 및 연구 방향

• 더 넓은 로봇 응용 분야: 이 방법론은 실시간 모델 기반 제어가 어려운 다른 병렬 로봇(예: 스튜어트 플랫폼, SCARA 유사 시스템) 및 구성 의존적 유연성이 큰 직렬 로봇에 직접 적용 가능합니다.
• 학습 기반 방법과의 통합: 오프라인 매개변수화된 모델은 가우시안 프로세스 회귀 또는 신경망을 사용하여 모델링되지 않은 역학이나 마모를 고려하도록 향상되거나 온라인에서 적응될 수 있습니다. 이는 MIT CSAIL과 같은 기관의 고급 적응 제어 연구에서 볼 수 있습니다.
• 클라우드-엣지 협력 처리: 가장 계산 집약적인 오프라인 매개변수화 및 궤적 사전 계획은 클라우드 서비스로 오프로드될 수 있으며, 가벼운 샘플링 모델과 QR 솔버는 프린터의 엣지 장치에서 실행될 수 있습니다.
• 펌웨어의 표준화: 이 원칙은 고속 델타 및 CoreXY 프린터를 위한 프리미엄 기능으로 오픈소스 3D 프린터 펌웨어(예: Klipper, Marlin)에 통합되어 고급 진동 보상에 대한 접근성을 민주화할 수 있습니다.

7. 참고문헌

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. 원본 분석 및 전문가 논평