Компенсация вибраций в дельта-3D-принтере с позиционно-зависимой динамикой с использованием фильтрованных B-сплайнов

1. Введение

Дельта-роботы всё чаще используются в 3D-печати методом послойного наплавления (FFF) благодаря их превосходной скорости по сравнению с традиционными последовательными конструкциями. Однако это преимущество часто сводится на нет нежелательными вибрациями, ухудшающими качество деталей, — проблема, усугубляемая связанной, позиционно-зависимой (нелинейной) динамикой робота. Хотя методы прямого управления, такие как фильтрованные B-сплайны (FBS), успешно подавляли вибрации в последовательных принтерах, их прямое применение для дельта-принтеров вычислительно непрактично. В данной статье решается эта проблема путём предложения эффективной методики реализации компенсации вибраций на основе FBS для дельта-3D-принтеров.

2. Методология

Предлагаемый подход решает вычислительные проблемы с помощью трёхкомпонентной стратегии, разработанной для обеспечения возможности реализации прямого управления на основе модели в реальном времени на контроллерах принтеров с ограниченными ресурсами.

2.1 Офлайн-параметризация позиционно-зависимой динамики

Позиционно-изменяющиеся элементы динамической модели дельта-робота предварительно вычисляются и параметризуются офлайн. Это включает создание компактного представления (например, с использованием полиномиальных или сплайновых аппроксимаций) того, как инерционные и кориолисовы/центробежные члены изменяются в рабочей зоне. Во время онлайн-работы полная динамическая модель в любой точке может быть эффективно восстановлена путём вычисления этих предопределённых параметризованных функций, а не путём расчёта сложной кинематики и динамики с нуля.

2.2 Вычисление модели в реальном времени в дискретных точках

Вместо генерации новой динамической модели для каждой точки задания вдоль траектории инструмента — процесса, который был бы слишком медленным, — контроллер вычисляет модели только в стратегически выбранных дискретных точках вдоль траектории. Управляющее воздействие между этими точками затем генерируется с использованием методов интерполяции. Это значительно снижает частоту наиболее ресурсоёмких операций.

2.3 QR-факторизация для повышения вычислительной эффективности

Основой метода FBS является решение системы линейных уравнений для вычисления предварительно отфильтрованной опорной траектории. Это требует обращения матрицы, что вычислительно сложно. В статье предлагается использовать QR-факторизацию для более эффективного решения системы. QR-разложение ($\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$) преобразует задачу в решение $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$, что вычислительно дешевле и численно устойчивее, чем прямое обращение, особенно для структурированных матриц, характерных для данного приложения.

3. Технические детали и математическая формулировка

Динамику дельта-робота можно представить как линейную параметрически-изменяющуюся (LPV) систему из-за его позиционно-зависимой инерции и связи. Стандартный подход FBS инвертирует динамическую модель для предварительного формирования опорного сигнала. Для дискретной системы выход $y[k]$ связан с входом $u[k]$ через передаточную функцию. Метод FBS проектирует фильтр $F(z)$ таким образом, что при его применении к опорному сигналу, определённому B-сплайном $r[k]$, фактический выход точно отслеживает желаемую траекторию $y_d[k]$: $y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$. Это требует решения для коэффициентов фильтра, что включает обращение матрицы, полученной из марковских параметров системы.

Вычислительная сложность возникает потому, что для дельта-робота модель объекта $G(z, \theta)$ изменяется в зависимости от позиции $\theta$. Матрица, которую нужно обратить, $\mathbf{H}(\theta)$, становится позиционно-зависимой: $\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$. Предлагаемый метод аппроксимирует это как $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$ в дискретных позициях $\theta_i$ и использует QR-факторизацию ($\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$) для эффективного решения $\mathbf{f}_i$ в каждой точке. Фильтр для промежуточных точек интерполируется из этих дискретных решений.

4. Результаты экспериментов и производительность

4.1 Результаты моделирования: ускорение вычислений

В моделировании предложенный метод сравнивался с контроллером, использующим точную, непрерывно обновляемую LPV-модель. Предложенный метод, сочетающий офлайн-параметризацию, дискретизацию модели и QR-факторизацию, обеспечил сокращение времени вычислений до 23 раз при сохранении точности отслеживания в пределах 5% от точного метода. Это демонстрирует эффективность метода в преодолении основного вычислительного узкого места.

4.2 Экспериментальная проверка: качество печати и снижение вибраций

Эксперименты проводились на дельта-3D-принтере. Предложенный контроллер сравнивался с базовым контроллером, использующим единственную линейную стационарную (LTI) модель, идентифицированную в одной позиции рабочей зоны.

• Качество печати: Детали, напечатанные в различных местах на платформе, показали значительное улучшение качества с предложенным контроллером. Детали были чётче, с уменьшенными артефактами в виде «звона» и «теней», характерными для высокоскоростной дельта-печати.
• Измерение вибраций: Данные акселерометра, записанные во время печати, подтвердили источник улучшения качества. Предложенный контроллер снизил амплитуды вибраций более чем на 20% по всей рабочей зоне по сравнению с базовым LTI-контроллером.

Описание диаграммы (подразумеваемое): Столбчатая диаграмма, вероятно, показывала бы амплитуду вибраций (в единицах g) по оси Y для различных позиций печати (ось X), с двумя столбцами на позицию: один для базового LTI-контроллера (выше) и один для предложенного FBS-контроллера (значительно ниже). Наложенный линейный график мог бы изображать время вычислений на сегмент траектории, показывая плоскую низкую линию для предложенного метода против высокой изменчивой линии для точного LPV-метода.

5. Аналитическая структура и пример применения

Структура для оценки возможности управления в реальном времени:
При адаптации ресурсоёмкого алгоритма (например, полного LPV FBS) для платформы с ограниченными ресурсами (например, ARM-микроконтроллера 3D-принтера) требуется системный анализ:

1. Идентификация узкого места: Профилирование алгоритма для поиска наиболее затратных по времени операций (например, обращение матрицы, вычисление полной динамической модели).
2. Стратегия аппроксимации: Определение, какие вычисления можно аппроксимировать (например, дискретизация модели вместо непрерывного обновления) или предварительно вычислить (офлайн-параметризация) с минимальной потерей производительности.
3. Численная оптимизация: Замена общих процедур оптимизированными для конкретной структуры задачи (например, QR-факторизация для структурированных матриц).
4. Валидация: Тестирование упрощённого алгоритма против исходного в моделировании на точность, а затем на аппаратном обеспечении на производительность в реальном времени и практическую эффективность.

Пример применения — использование структуры:
Для данного проекта дельта-принтера: Узким местом было онлайн-обращение позиционно-зависимой матрицы. Стратегией аппроксимации было вычисление моделей только в дискретных точках траектории. Численной оптимизацией стало применение QR-факторизации. Валидация показала 23-кратное ускорение при сохранении точности, доказав практическую реализуемость.

6. Будущие применения и направления исследований

• Более широкие робототехнические применения: Данная методология напрямую применима к другим параллельным роботам (например, платформам Стюарта, SCARA-подобным системам) и последовательным роботам со значительной конфигурационно-зависимой гибкостью, где управление на основе модели в реальном времени является сложной задачей.
• Интеграция с методами на основе обучения: Офлайн-параметризованная модель может быть улучшена или адаптирована онлайн с использованием регрессии по гауссовским процессам или нейронных сетей для учёта непромоделированной динамики или износа, как это видно в передовых исследованиях адаптивного управления в таких учреждениях, как CSAIL Массачусетского технологического института.
• Совместная обработка «облако-граничное устройство»: Наиболее ресурсоёмкие этапы офлайн-параметризации и предварительного планирования траектории могут быть вынесены в облачный сервис, в то время как облегчённые алгоритмы дискретной модели и QR-решателя будут работать на граничном устройстве принтера.
• Стандартизация в прошивках: Принципы могут быть интегрированы в прошивки для 3D-принтеров с открытым исходным кодом (например, Klipper, Marlin) как премиальная функция для высокоскоростных дельта- и CoreXY-принтеров, демократизируя доступ к передовой компенсации вибраций.

7. Ссылки

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. Оригинальный анализ и экспертный комментарий