Konuma Bağlı Dinamiklere Sahip Delta 3B Yazıcılar için Filtrelenmiş B-Spline'lar Kullanılarak Titreşim Kompanzasyonu

1. Giriş

Delta robotlar, geleneksel seri eksenli tasarımlara kıyasla üstün hız kabiliyetleri nedeniyle Erimiş Filament Biriktirme (FFF) 3B yazıcılarda giderek daha fazla tercih edilmektedir. Ancak, bu hız avantajı genellikle parça kalitesini düşüren istenmeyen titreşimlerle baltalanır; bu sorun robotun birbirine bağlı, konuma bağlı (doğrusal olmayan) dinamikleriyle daha da şiddetlenir. Filtrelenmiş B-Spline'lar (FBS) gibi ileri beslemeli kontrol teknikleri seri yazıcılardaki titreşimi başarıyla bastırmış olsa da, bunların delta yazıcılara doğrudan uygulanması hesaplama açısından mümkün değildir. Bu makale, delta 3B yazıcılarda FBS tabanlı titreşim kompanzasyonunu uygulamak için verimli bir metodoloji önererek bu darboğazı ele almaktadır.

2. Metodoloji

Önerilen yaklaşım, kaynakları kısıtlı yazıcı denetleyicilerinde gerçek zamanlı, model tabanlı ileri beslemeli kontrolü mümkün kılmak için tasarlanmış üç yönlü bir strateji ile hesaplama zorluklarını ele almaktadır.

2.1 Konuma Bağlı Dinamiklerin Çevrimdışı Parametrelendirilmesi

Delta robotun dinamik modelinin konuma göre değişen elemanları çevrimdışı olarak önceden hesaplanır ve parametrelendirilir. Bu, atalet ve Coriolis/santrifüj terimlerinin çalışma hacmi boyunca nasıl değiştiğinin kompakt bir temsilini (örneğin polinom veya spline uydurma kullanarak) oluşturmayı içerir. Çevrimiçi çalışma sırasında, herhangi bir noktadaki tam dinamik model, karmaşık kinematik ve dinamikleri sıfırdan hesaplamak yerine, bu önceden tanımlanmış parametrelendirilmiş fonksiyonları değerlendirerek verimli bir şekilde yeniden oluşturulabilir.

2.2 Örneklenmiş Noktalarda Gerçek Zamanlı Model Hesaplama

Denetleyici, bir takım yolu boyunca her bir ayar noktası için yeni bir dinamik model oluşturmak yerine -bu işlem çok yavaş olurdu- modelleri yalnızca yörünge boyunca stratejik olarak örneklenmiş noktalarda hesaplar. Bu örneklenmiş noktalar arasındaki kontrol girişi daha sonra enterpolasyon teknikleri kullanılarak üretilir. Bu, hesaplama açısından en yoğun işlemlerin sıklığını önemli ölçüde azaltır.

2.3 Hesaplama Verimliliği için QR Faktörizasyonu

FBS yönteminin özü, önceden filtrelenmiş referans yörüngeyi hesaplamak için bir lineer denklem sistemini çözmeyi içerir. Bu, hesaplama açısından ağır olan bir matris tersini alma gerektirir. Makale, sistemi daha verimli çözmek için QR faktörizasyonu kullanmayı önermektedir. QR ayrıştırması ($\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$) problemi $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$'yi çözmeye dönüştürür; bu, özellikle bu uygulamada yaygın olan yapılandırılmış matrisler için, doğrudan ters alma işleminden daha hesaplama açısından ucuz ve sayısal olarak daha kararlıdır.

3. Teknik Detaylar & Matematiksel Formülasyon

Bir delta robotun dinamikleri, konuma bağlı ataleti ve bağlaşımlılığı nedeniyle Doğrusal Parametre Değişimli (LPV) bir sistem olarak temsil edilebilir. Standart FBS yaklaşımı, referans komutu önceden şekillendirmek için bir dinamik modelin tersini alır. Ayrık zamanlı bir sistem için, çıkış $y[k]$ giriş $u[k]$ ile bir transfer fonksiyonu aracılığıyla ilişkilidir. FBS yöntemi, B-spline ile tanımlanmış bir referans $r[k]$'ya uygulandığında, gerçek çıkışın istenen yörünge $y_d[k]$'ya yakından takip etmesini sağlayacak bir filtre $F(z)$ tasarlar: $y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$. Bu, sistemin Markov parametrelerinden türetilen bir matrisin tersini almayı içeren filtre katsayılarını çözmeyi gerektirir.

Hesaplama zorluğu, bir delta robot için bitki modeli $G(z, \theta)$'nın konum $\theta$ ile değişmesinden kaynaklanır. Tersi alınacak matris, $\mathbf{H}(\theta)$, konuma bağlı hale gelir: $\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$. Önerilen yöntem bunu $\theta_i$ örneklenmiş konumlarında $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$ olarak yaklaşıklaştırır ve her örnek için $\mathbf{f}_i$'yi verimli bir şekilde çözmek için QR faktörizasyonunu ($\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$) kullanır. Ara noktalar için filtre, bu örneklenmiş çözümlerden enterpolasyonla elde edilir.

4. Deneysel Sonuçlar & Performans

4.1 Simülasyon Sonuçları: Hesaplama Hızlanması

Simülasyonlar, önerilen yöntemi kesin, sürekli güncellenen LPV modeli kullanan bir denetleyiciyle karşılaştırmıştır. Çevrimdışı parametrelendirme, model örnekleme ve QR faktörizasyonunu birleştiren önerilen yöntem, kesin yöntemin %5'i içinde bir izleme doğruluğunu korurken, 23 kata varan bir hesaplama süresi azalması sağlamıştır. Bu, yöntemin birincil hesaplama darboğazını aşmadaki etkinliğini göstermektedir.

4.2 Deneysel Doğrulama: Baskı Kalitesi & Titreşim Azaltımı

Deneyler bir delta 3B yazıcı üzerinde gerçekleştirilmiştir. Önerilen denetleyici, çalışma hacminin bir konumunda tanımlanmış tek bir Doğrusal Zamanla Değişmeyen (LTI) model kullanan bir temel denetleyiciyle karşılaştırılmıştır.

• Baskı Kalitesi: Önerilen denetleyici ile baskı tablasının çeşitli konumlarında basılan parçalarda önemli kalite iyileştirmeleri gözlemlenmiştir. Özellikler daha keskin olup, yüksek hızlı delta baskısında yaygın olan halkalanma ve gölgelenme artefaktları azalmıştır.
• Titreşim Ölçümü: Baskı sırasında kaydedilen ivmeölçer verileri, kalite iyileştirmesinin kaynağını doğrulamıştır. Önerilen denetleyici, temel LTI denetleyiciye kıyasla çalışma hacmi boyunca titreşim genliklerini %20'den fazla azaltmıştır.

Grafik Açıklaması (İma Edilen): Bir çubuk grafik, muhtemelen Y ekseninde farklı baskı konumları (X ekseni) için titreşim genliğini (g cinsinden) gösterecektir; her konum için iki çubuk bulunur: biri Temel LTI denetleyici için (daha yüksek) ve biri Önerilen FBS denetleyici için (önemli ölçüde daha düşük). Üst üste bindirilmiş bir çizgi grafik, yörünge segmenti başına hesaplama süresini gösterebilir; önerilen yöntem için düz, düşük bir çizgi ile kesin LPV yöntemi için yüksek, değişken bir çizgiyi tasvir edebilir.

5. Analiz Çerçevesi & Örnek Vaka

Gerçek Zamanlı Kontrol Uygulanabilirliğini Değerlendirme Çerçevesi:
Hesaplama açısından yoğun bir algoritmayı (tam LPV FBS gibi) kaynakları kısıtlı bir platforma (3B yazıcının ARM tabanlı mikrodenetleyicisi gibi) uyarlarken sistematik bir analiz gereklidir:

1. Darboğaz Tanımlama: En zaman alıcı işlemleri (ör. matris tersi alma, tam dinamik model hesaplama) bulmak için algoritmayı profille.
2. Yaklaşıklaştırma Stratejisi: Hangi hesaplamaların minimum performans kaybıyla yaklaşıklaştırılabileceğini (ör. model örnekleme vs. sürekli güncelleme) veya önceden hesaplanabileceğini (çevrimdışı parametrelendirme) belirle.
3. Sayısal Optimizasyon: Genel rutinleri, belirli problem yapısı için optimize edilmiş olanlarla değiştir (ör. yapılandırılmış matrisler için QR faktörizasyonu).
4. Doğrulama: Basitleştirilmiş algoritmayı orijinaline karşı simülasyonda sadakat için, ardından donanımda gerçek zamanlı performans ve pratik etkinlik için test et.

Örnek Vaka - Çerçevenin Uygulanması:
Bu delta yazıcı projesi için: Darboğaz, konuma bağlı bir matrisin çevrimiçi tersini alma işlemiydi. Yaklaşıklaştırma stratejisi, modelleri yalnızca örneklenmiş yörünge noktalarında hesaplamaktı. Sayısal optimizasyon, QR faktörizasyonu kullanmaktı. Doğrulama, korunan doğrulukla 23 katlık bir hızlanma göstererek uygulanabilirliği kanıtladı.

6. Gelecek Uygulamalar & Araştırma Yönleri

• Daha Geniş Robotik Uygulamalar: Bu metodoloji, gerçek zamanlı model tabanlı kontrolün zor olduğu diğer paralel robotlara (ör. Stewart platformları, SCARA benzeri sistemler) ve önemli konfigürasyona bağlı esnekliğe sahip seri robotlara doğrudan uygulanabilir.
• Öğrenme Tabanlı Yöntemlerle Entegrasyon: Çevrimdışı parametrelendirilmiş model, MIT CSAIL gibi kurumlardan gelişmiş uyarlamalı kontrol araştırmalarında görüldüğü gibi, modellenmemiş dinamikleri veya aşınmayı hesaba katmak için Gauss Süreci regresyonu veya Sinir Ağları kullanılarak geliştirilebilir veya çevrimiçi uyarlanabilir.
• Bulut-Kenar Birlikte İşleme: Hesaplama açısından en ağır olan çevrimdışı parametrelendirme ve yörünge ön planlaması bir bulut hizmetine devredilebilir; hafif örneklenmiş model ve QR çözücü ise yazıcının kenar cihazında çalıştırılabilir.
• Firmware'de Standardizasyon: İlkeler, açık kaynak 3B yazıcı firmware'lerine (ör. Klipper, Marlin) yüksek hızlı delta ve CoreXY yazıcılar için premium bir özellik olarak entegre edilebilir, böylece gelişmiş titreşim kompanzasyonuna erişim demokratikleştirilebilir.

7. Kaynaklar

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. Özgün Analiz & Uzman Yorumu