基于滤波B样条与位置变化动力学的Delta 3D打印机振动补偿方法

1. 引言

相较于传统的串联轴设计，Delta机器人因其卓越的速度潜力，在熔丝制造（FFF）3D打印领域日益受到青睐。然而，这种速度优势常常被有害的振动所削弱，导致零件质量下降。这一问题因机器人耦合的、位置相关（非线性）的动力学特性而加剧。虽然滤波B样条（FBS）等前馈控制技术已成功抑制了串联式打印机的振动，但将其直接应用于Delta打印机在计算上是难以实现的。本文通过提出一种在Delta 3D打印机上高效实现基于FBS的振动补偿方法，旨在解决这一瓶颈。

2. 方法论

所提出的方法通过一个三管齐下的策略来应对计算挑战，旨在使基于模型的实时前馈控制在资源受限的打印机控制器上变得可行。

2.1 位置相关动力学的离线参数化

Delta机器人动力学模型中随位置变化的元素被预先计算并离线参数化。这涉及创建惯性项和科里奥利/离心力项在整个工作空间内如何变化的紧凑表示（例如，使用多项式或样条拟合）。在线操作期间，通过评估这些预定义的参数化函数，而非从零开始计算复杂的运动学和动力学，可以高效地重建任意点处的完整动力学模型。

2.2 采样点处的实时模型计算

控制器并非为刀具路径上的每个设定点都生成一个新的动力学模型（这个过程会非常缓慢），而是仅在轨迹上策略性选取的采样点处计算模型。这些采样点之间的控制输入则通过插值技术生成。这显著降低了计算最密集操作的频率。

2.3 用于计算效率的QR分解

FBS方法的核心涉及求解线性方程组以计算预滤波的参考轨迹。这需要进行矩阵求逆，计算量很大。本文提出使用QR分解来更高效地求解该系统。QR分解（$\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$）将问题转化为求解 $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$，这比直接求逆计算成本更低、数值稳定性更高，尤其适用于本应用中常见的结构化矩阵。

3. 技术细节与数学公式

由于Delta机器人具有位置相关的惯性和耦合特性，其动力学可以表示为一个线性参数变化（LPV）系统。标准的FBS方法通过反转动力学模型来预整形参考指令。对于一个离散时间系统，输出 $y[k]$ 通过传递函数与输入 $u[k]$ 相关联。FBS方法设计一个滤波器 $F(z)$，使得当将其应用于由B样条定义的参考信号 $r[k]$ 时，实际输出能紧密跟踪期望轨迹 $y_d[k]$：$y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$。这需要求解滤波器系数，其中涉及对源自系统马尔可夫参数的矩阵进行求逆。

计算挑战的出现是因为对于Delta机器人，被控对象模型 $G(z, \theta)$ 随位置 $\theta$ 变化。需要求逆的矩阵 $\mathbf{H}(\theta)$ 也变为位置相关的：$\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$。所提出的方法在采样位置 $\theta_i$ 处将其近似为 $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$，并使用QR分解（$\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$）来高效地求解每个采样点处的 $\mathbf{f}_i$。中间点的滤波器则通过这些采样解插值得到。

4. 实验结果与性能

4.1 仿真结果：计算加速

仿真将所提出的方法与使用精确、连续更新的LPV模型的控制器进行了比较。所提出的方法——结合了离线参数化、模型采样和QR分解——实现了高达23倍的计算时间缩减，同时将跟踪精度保持在精确方法的5%以内。这证明了该方法在克服主要计算瓶颈方面的有效性。

4.2 实验验证：打印质量与振动抑制

实验在一台Delta 3D打印机上进行。所提出的控制器与一个在工作空间内单一位置辨识出的线性时不变（LTI）模型作为基准的控制器进行了比较。

• 打印质量：在打印平台不同位置打印的零件显示，使用所提出的控制器后质量得到显著改善。特征更清晰，高速Delta打印中常见的振铃和重影伪影减少。
• 振动测量：打印过程中记录的加速度计数据证实了质量改善的来源。与基准LTI控制器相比，所提出的控制器在整个工作空间内将振动幅度降低了20%以上。

图表描述（隐含）：一个条形图可能会显示不同打印位置（X轴）的振动幅度（以g为单位，Y轴），每个位置有两根条形：一根代表基准LTI控制器（较高），另一根代表所提出的FBS控制器（显著较低）。叠加的折线图可以描绘每个轨迹段的计算时间，显示所提出的方法是一条平坦的低线，而精确LPV方法则是一条高且变化的线。

5. 分析框架与案例示例

评估实时控制可行性的框架：
当为资源受限的平台（如3D打印机的基于ARM的微控制器）适配计算密集型算法（如完整的LPV FBS）时，需要进行系统分析：

1. 瓶颈识别：分析算法，找出最耗时的操作（例如，矩阵求逆、完整动力学模型计算）。
2. 近似策略：确定哪些计算可以在性能损失最小的情况下进行近似（例如，模型采样 vs. 连续更新）或预计算（离线参数化）。
3. 数值优化：针对特定问题结构，用优化后的例程替换通用例程（例如，对结构化矩阵使用QR分解）。
4. 验证：在仿真中测试简化算法相对于原始算法的保真度，然后在硬件上测试其实时性能和实践效果。

案例示例 - 应用该框架：
对于这个Delta打印机项目：瓶颈是位置相关矩阵的在线求逆。近似策略是仅在采样轨迹点处计算模型。数值优化是采用QR分解。验证显示在保持精度的前提下实现了23倍加速，证明了可行性。

6. 未来应用与研究展望

• 更广泛的机器人应用：该方法论可直接应用于其他并联机器人（例如，Stewart平台、类SCARA系统）以及具有显著构型相关柔性的串联机器人，在这些领域，基于模型的实时控制具有挑战性。
• 与基于学习的方法结合：离线参数化模型可以通过高斯过程回归或神经网络进行在线增强或调整，以应对未建模的动力学或磨损，正如麻省理工学院CSAIL等机构在高级自适应控制研究中所示。
• 云-边缘协同处理：计算量最大的离线参数化和轨迹预规划可以卸载到云服务，而轻量级的采样模型和QR求解器则在打印机的边缘设备上运行。
• 固件标准化：这些原理可以集成到开源3D打印机固件（如Klipper、Marlin）中，作为高速Delta和CoreXY打印机的高级功能，使先进的振动补偿技术更普及。

7. 参考文献

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. 原创分析与专家评论