運用濾波B樣條對具有位置變化動態特性嘅Delta 3D打印機進行振動補償

1. 簡介

同傳統串聯軸設計相比，Delta機械人憑藉其卓越嘅速度能力，喺熔絲製造（FFF）3D打印領域越來越受歡迎。然而，呢個速度優勢經常被影響零件質量嘅不良振動所削弱，呢個問題會因為機械人嘅耦合、位置相關（非線性）動態特性而加劇。雖然前饋控制技術（例如濾波B樣條）已成功抑制串聯打印機嘅振動，但將其直接應用於Delta打印機喺運算上係難以實現嘅。本文通過提出一種高效方法，喺Delta 3D打印機上實現基於FBS嘅振動補償，來解決呢個瓶頸。

2. 方法論

所提出嘅方法通過一個三管齊下嘅策略來應對運算挑戰，旨在令基於模型嘅實時前饋控制喺資源受限嘅打印機控制器上變得可行。

2.1 位置相關動態特性嘅離線參數化

Delta機械人動態模型中隨位置變化嘅元素會預先計算並進行離線參數化。呢個過程涉及創建一個緊湊嘅表示（例如使用多項式或樣條擬合），來描述慣性項同科里奧利/離心力項喺整個工作空間中嘅變化。喺線操作期間，可以通過評估呢啲預先定義嘅參數化函數，而唔係從頭開始計算複雜嘅運動學同動力學，來高效地重建任何點上嘅完整動態模型。

2.2 採樣點上嘅實時模型計算

控制器唔會為工具路徑上嘅每個設定點都生成一個新嘅動態模型（呢個過程會太慢），而係只會喺軌跡上策略性選取嘅採樣點處計算模型。然後使用插值技術來生成呢啲採樣點之間嘅控制輸入。呢樣做顯著減少了運算最密集嘅操作頻率。

2.3 用於提升運算效率嘅QR分解

FBS方法嘅核心涉及求解一個線性方程組來計算預濾波嘅參考軌跡。呢個需要矩陣求逆，運算量好大。本文提議使用QR分解來更高效地求解該系統。QR分解（$\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$）將問題轉化為求解 $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$，相比直接求逆，呢個方法運算成本更低，數值穩定性更高，尤其適用於本應用中常見嘅結構化矩陣。

3. 技術細節與數學公式

由於其位置相關嘅慣性同耦合，Delta機械人嘅動態特性可以表示為一個線性參數變化（LPV）系統。標準嘅FBS方法會反轉一個動態模型來預先整形參考指令。對於一個離散時間系統，輸出 $y[k]$ 通過一個傳遞函數與輸入 $u[k]$ 相關聯。FBS方法設計一個濾波器 $F(z)$，使得當應用於一個由B樣條定義嘅參考信號 $r[k]$ 時，實際輸出能夠緊密跟蹤期望軌跡 $y_d[k]$：$y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$。呢個需要求解濾波器係數，當中涉及反轉一個由系統馬爾可夫參數推導出嘅矩陣。

運算挑戰嘅出現係因為對於Delta機械人，被控對象模型 $G(z, \theta)$ 會隨位置 $\theta$ 變化。需要反轉嘅矩陣 $\mathbf{H}(\theta)$ 變成位置相關：$\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$。所提出嘅方法喺採樣位置 $\theta_i$ 處將其近似為 $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$，並使用QR分解（$\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$）來高效地求解每個採樣點嘅 $\mathbf{f}_i$。中間點嘅濾波器係數則從呢啲採樣解中插值得到。

4. 實驗結果與性能表現

4.1 模擬結果：運算速度提升

模擬將所提出嘅方法與使用精確、持續更新嘅LPV模型嘅控制器進行比較。所提出嘅方法——結合離線參數化、模型採樣同QR分解——實現咗高達23倍嘅運算時間減少，同時將跟蹤精度維持喺精確方法嘅5%以內。呢個證明咗該方法喺克服主要運算瓶頸方面嘅有效性。

4.2 實驗驗證：打印質量與振動減弱

實驗喺一台Delta 3D打印機上進行。將所提出嘅控制器與一個使用喺工作空間中單一位置識別出嘅單個線性時不變（LTI）模型嘅基準控制器進行比較。

• 打印質量： 使用所提出嘅控制器打印出嘅零件，喺構建板上唔同位置都顯示出顯著嘅質量改善。特徵更清晰，高速Delta打印中常見嘅振鈴同鬼影偽影減少。
• 振動測量： 打印期間記錄嘅加速度計數據證實咗質量改善嘅來源。與基準LTI控制器相比，所提出嘅控制器喺整個工作空間內將振動幅度降低咗超過20%。

圖表描述（隱含）： 一個柱狀圖可能會顯示唔同打印位置（X軸）嘅振動幅度（以g為單位，Y軸），每個位置有兩條柱：一條用於基準LTI控制器（較高），一條用於所提出嘅FBS控制器（明顯較低）。一個疊加嘅線圖可以描繪每個軌跡段嘅運算時間，顯示所提出方法嘅一條平坦、低嘅線，對比精確LPV方法嘅一條高且變化嘅線。

5. 分析框架與案例示例

評估實時控制可行性嘅框架：
當為一個資源受限嘅平台（例如3D打印機嘅基於ARM嘅微控制器）調整一個運算密集型算法（如完整嘅LPV FBS）時，需要進行系統性分析：

1. 瓶頸識別： 分析算法，找出最耗時嘅操作（例如矩陣求逆、完整動態模型計算）。
2. 近似策略： 確定哪些計算可以喺性能損失最小嘅情況下進行近似（例如模型採樣 vs. 持續更新）或預先計算（離線參數化）。
3. 數值優化： 針對特定問題結構，用優化嘅例程替換通用例程（例如對結構化矩陣使用QR分解）。
4. 驗證： 喺模擬中測試簡化算法相對於原始算法嘅保真度，然後喺硬件上測試其實時性能同實際效果。

案例示例 - 應用該框架：
對於呢個Delta打印機項目：瓶頸係位置相關矩陣嘅在線求逆。近似策略係只喺採樣嘅軌跡點處計算模型。數值優化係採用QR分解。驗證顯示喺保持精度嘅情況下實現咗23倍嘅速度提升，證明咗可行性。

6. 未來應用與研究方向

• 更廣泛嘅機械人應用： 呢個方法論可直接應用於其他並聯機械人（例如Stewart平台、類SCARA系統）以及具有顯著配置相關柔性嘅串聯機械人，呢啲場合實時基於模型嘅控制具有挑戰性。
• 與基於學習嘅方法結合： 離線參數化模型可以通過高斯過程回歸或神經網絡進行增強或在線調整，以考慮未建模嘅動態特性或磨損，正如麻省理工學院CSAIL等機構嘅先進自適應控制研究所見。
• 雲端-邊緣協同處理： 運算最密集嘅離線參數化同軌跡預規劃可以卸載到雲端服務，而輕量級嘅採樣模型同QR求解器則運行喺打印機嘅邊緣設備上。
• 固件中嘅標準化： 呢啲原則可以整合到開源3D打印機固件（例如Klipper、Marlin）中，作為高速Delta同CoreXY打印機嘅高級功能，普及先進振動補償技術嘅使用。

7. 參考文獻

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. 原創分析與專家評論