運用濾波B樣條與位置變動動力學實現Delta 3D列印機振動補償

1. 簡介

Delta機械臂因其相較於傳統串聯軸設計的卓越速度能力，在熔融沉積成型（FFF）3D列印領域日益受到青睞。然而，這種速度優勢常因不良振動而大打折扣，導致零件品質下降，而機械臂本身耦合、位置相依（非線性）的動力學特性更使此問題惡化。雖然如濾波B樣條（FBS）等前饋控制技術已成功抑制串聯式列印機的振動，但將其直接應用於Delta列印機在運算上卻難以實現。本文針對此瓶頸，提出一種高效方法，在Delta 3D列印機上實現基於FBS的振動補償。

2. 方法論

所提出的方法透過三管齊下的策略來應對運算挑戰，旨在使基於模型的即時前饋控制能在資源受限的列印機控制器上變得可行。

2.1 位置相依動力學的離線參數化

Delta機械臂動態模型中隨位置變動的元素會預先進行離線計算與參數化。這涉及建立慣性項與科氏力/離心力項在工作空間中如何變化的緊湊表示（例如使用多項式或樣條擬合）。在線上運作期間，可透過評估這些預先定義的參數化函數，高效地重建任意點上的完整動態模型，而無需從頭計算複雜的運動學與動力學。

2.2 取樣點上的即時模型計算

控制器並非為刀具路徑上的每個設定點都生成一個新的動態模型（此過程過於緩慢），而是僅沿著軌跡在策略性選取的取樣點上計算模型。這些取樣點之間的控制輸入則透過內插技術生成。這顯著降低了運算最密集操作的頻率。

2.3 運用QR分解提升運算效率

FBS方法的核心涉及求解線性方程組以計算預濾波後的參考軌跡。這需要進行矩陣反轉，運算負擔沉重。本文提出使用QR分解來更有效率地求解該系統。QR分解（$\mathbf{A} = \mathbf{Q}\mathbf{R}$）將問題轉化為求解 $\mathbf{Rx} = \mathbf{Q}^T\mathbf{b}$，這比直接反轉運算成本更低且數值穩定性更高，尤其適用於此應用中常見的結構化矩陣。

3. 技術細節與數學公式

由於其位置相依的慣性與耦合特性，Delta機械臂的動力學可以表示為一個線性參數變動（LPV）系統。標準的FBS方法反轉動態模型以預先塑形參考指令。對於離散時間系統，輸出 $y[k]$ 透過傳遞函數與輸入 $u[k]$ 相關聯。FBS方法設計一個濾波器 $F(z)$，使得當應用於以B樣條定義的參考 $r[k]$ 時，實際輸出能緊密追蹤期望軌跡 $y_d[k]$：$y[k] \approx G(z)F(z)r[k] = y_d[k]$。這需要求解濾波器係數，涉及反轉一個源自系統馬可夫參數的矩陣。

運算挑戰的產生是因為對於Delta機械臂，受控體模型 $G(z, \theta)$ 隨位置 $\theta$ 而變化。需要反轉的矩陣 $\mathbf{H}(\theta)$ 也變成位置相依：$\mathbf{H}(\theta)\mathbf{f} = \mathbf{y}_d$。所提出的方法在取樣位置 $\theta_i$ 上將其近似為 $\mathbf{H}(\theta_i)\mathbf{f} \approx \mathbf{y}_d$，並使用QR分解（$\mathbf{H}(\theta_i) = \mathbf{Q}_i\mathbf{R}_i$）來高效求解每個取樣點的 $\mathbf{f}_i$。中間點的濾波器則從這些取樣解中內插得出。

4. 實驗結果與效能表現

4.1 模擬結果：運算加速

模擬將所提出的方法與使用精確、持續更新的LPV模型的控制器進行比較。所提出的方法——結合離線參數化、模型取樣和QR分解——實現了高達23倍的運算時間縮減，同時將追蹤精度維持在精確方法的5%以內。這證明了該方法在克服主要運算瓶頸方面的有效性。

4.2 實驗驗證：列印品質與振動抑制

實驗在一台Delta 3D列印機上進行。所提出的控制器與一個在工作空間中單一位置識別出的單一線性時不變（LTI）模型基準控制器進行比較。

• 列印品質： 使用所提出的控制器，在成型平臺不同位置列印的零件顯示出顯著的品質改善。特徵更銳利，高速Delta列印中常見的振鈴與鬼影瑕疵減少。
• 振動量測： 列印過程中記錄的加速度計數據證實了品質改善的來源。與基準LTI控制器相比，所提出的控制器在工作空間內將振動幅度降低了超過20%。

圖表說明（隱含）： 長條圖可能會顯示不同列印位置（X軸）的振動幅度（單位為g），每個位置有兩條長條：一條代表基準LTI控制器（較高），另一條代表所提出的FBS控制器（顯著較低）。疊加的折線圖可能描繪每個軌跡段的運算時間，顯示所提出方法的平坦低線，對比精確LPV方法的高且變動的線。

5. 分析框架與案例範例

評估即時控制可行性的框架：
當為資源受限的平臺（如3D列印機的ARM微控制器）調整運算密集的演算法（如完整的LPV FBS）時，需要進行系統性分析：

1. 瓶頸識別： 分析演算法，找出最耗時的操作（例如矩陣反轉、完整動態模型計算）。
2. 近似策略： 確定哪些計算可以以最小效能損失進行近似（例如模型取樣 vs. 持續更新）或預先計算（離線參數化）。
3. 數值優化： 針對特定問題結構，以優化後的常式替換通用常式（例如對結構化矩陣使用QR分解）。
4. 驗證： 在模擬中測試簡化演算法與原始演算法的保真度，然後在硬體上測試其實時效能與實際效果。

案例範例 - 應用該框架：
對於此Delta列印機專案：瓶頸是位置相依矩陣的線上反轉。近似策略是僅在取樣的軌跡點上計算模型。數值優化是採用QR分解。驗證顯示在維持精確度的情況下實現了23倍加速，證明了可行性。

6. 未來應用與研究方向

• 更廣泛的機器人應用： 此方法論可直接應用於其他並聯機器人（例如史都華平臺、類似SCARA的系統）以及具有顯著構型相依柔性的串聯機器人，這些領域的即時模型控制具有挑戰性。
• 與學習型方法整合： 離線參數化模型可以透過高斯過程回歸或神經網路進行增強或線上適應，以應對未建模的動力學或磨損，正如麻省理工學院CSAIL等機構的先進適應性控制研究所見。
• 雲端-邊緣協同處理： 運算最繁重的離線參數化與軌跡預規劃可以卸載到雲端服務，而輕量級的取樣模型與QR求解器則在列印機的邊緣裝置上執行。
• 韌體標準化： 這些原則可以整合到開源3D列印機韌體（例如Klipper、Marlin）中，作為高速Delta和CoreXY列印機的高階功能，普及先進振動補償技術的應用。

7. 參考文獻

1. Clavel, R. (1988). Delta, a fast robot with parallel geometry. Proc. 18th International Symposium on Industrial Robots.
2. Briot, S., & Goldsztejn, A. (2018). Dynamics of Parallel Robots: From Rigid Bodies to Flexible Elements. Springer.
3. Okwudire, C. E., & Altintas, Y. (2009). Hybrid modeling of ball screw drives with coupled axial, torsional, and lateral dynamics. Journal of Mechanical Design.
4. Edoimioya, N., & Okwudire, C. (2021). Filtered B-Splines for Vibration Compensation on Serial 3D Printers: A Review and Implementation Guide. Mechatronics.
5. Codourey, A. (1998). Dynamic modeling of parallel robots for computed-torque control implementation. The International Journal of Robotics Research.
6. Angel, L., & Viola, J. (2018). Fractional order PID for torque control in delta robots. Journal of Control Engineering and Applied Informatics.
7. MIT Computer Science & Artificial Intelligence Laboratory (CSAIL). (2023). Adaptive and Learning-Based Control Systems. [Online]. Available: https://www.csail.mit.edu

8. 原創分析與專家評論