適用於積層製造之具應力約束的結構多尺度拓撲最佳化

目錄

1. 緒論

積層製造（或稱3D列印）代表了設計與生產的典範轉移，能夠製造出傳統鑄造或銑削方法無法實現的複雜幾何形狀。本文探討了計算設計與積層製造交叉領域的一個關鍵挑戰：在嚴格執行應力約束以確保結構完整性的同時進行拓撲最佳化，並將其延伸至多尺度與多材料情境。這項工作的動機來自於需要一種能充分利用積層製造能力的設計方法論，超越單純的形狀最佳化，從一開始就考慮材料的行為與可製造性。

2. 方法論

本研究的核心是採用相場法進行拓撲最佳化。此方法特別適合處理積層製造過程中固有的複雜拓撲變化與介面問題。

2.1 相場法公式

相場變數，通常表示為 $\phi(\mathbf{x})$，在材料區域（例如 $\phi=1$）與孔洞區域（例如 $\phi=0$）之間平滑地插值。介面由一個具有有限寬度的擴散層表示，並由梯度能量項控制。最佳化問題在體積約束下最小化柔度（或其他結構目標），其中設計變數為相場 $\phi$。

2.2 應力約束整合

一個關鍵貢獻是整合了全域應力約束。局部應力約束（例如，每個點的 $\sigma_{vm} \leq \sigma_{yield}$）眾所周知地困難且計算成本高昂。作者可能採用了一個鬆弛或聚合的約束，例如 p-範數或 Kreisselmeier-Steinhauser (KS) 函數，來近似最大應力並確保其保持在允許的極限以下：$\|\sigma_{vm}\|_p \leq \bar{\sigma}$。

2.3 多尺度與多材料延伸

該框架被延伸以考慮功能梯度材料或多種不同材料。這涉及定義多個相場變數或一個向量值場來表示不同的材料相，從而能夠在多個尺度上最佳化材料分佈以提升性能。

3. 數學框架與最佳化條件

本文嚴謹地推導了此約束最佳化問題的一階必要最佳化條件（Karush-Kuhn-Tucker 條件）。這涉及定義一個拉格朗日泛函 $\mathcal{L}$，該泛函整合了目標函數（例如柔度）、應力約束和體積約束：

$\mathcal{L}(\phi, \mathbf{u}, \lambda, \mu) = J(\phi, \mathbf{u}) + \lambda \, G_{stress}(\phi, \mathbf{u}) + \mu \, G_{vol}(\phi)$

其中 $\mathbf{u}$ 是位移場（彈性偏微分方程的解），而 $\lambda, \mu$ 是拉格朗日乘數。最佳化條件是通過將 $\mathcal{L}$ 對所有變數的變分設為零而獲得，從而得到一個耦合了機械平衡、靈敏度的伴隨方程以及相場 $\phi$ 更新規則的方程組。

4. 數值演算法與實作

本文提出了一種數值演算法，通常涉及基於梯度的最佳化迴圈（例如移動漸近線法）。每次迭代需要：

1. 求解狀態方程（線性彈性）以獲得位移 $\mathbf{u}$。
2. 求解拉格朗日泛函靈敏度的伴隨方程。
3. 計算 $\phi$ 的拓撲導數或靈敏度。
4. 使用下降方向以及投影/正則化步驟來更新相場 $\phi$，以保持平滑性。
5. 檢查收斂準則。

空間離散化採用有限元素法或等幾何分析。

5. 實驗結果與案例研究

5.1 二維懸臂樑問題

主要的數值範例是一個經典的二維懸臂樑，一端固定，在自由端底部角落施加一個點載荷。對設計域進行離散化，最佳化目標是在體積分數（例如 50%）和全域應力約束下最小化柔度。

結果描述： 在沒有應力約束的情況下，傳統的拓撲最佳化會產生一個具有細長構件的桁架狀結構，這些構件可能具有高應力集中。當啟動應力約束後，演算法會生成一個更穩健的設計，在凹角與載荷施加點處具有更厚、更平滑的連接，有效地消除了作為應力集中源的尖銳凹口。最終的拓撲通常顯示出更分散的載荷路徑。

5.2 參數靈敏度分析

本研究探討了最終設計對關鍵參數的靈敏度：

• 應力約束極限 ($\bar{\sigma}$)： 更嚴格的約束會導致更笨重、更保守的設計，其柔度更高（剛性較低）。更寬鬆的約束允許更輕、更剛硬，但可能更脆弱的結構。
• 相場介面寬度參數 ($\epsilon$)： 控制材料邊界的擴散程度。較大的 $\epsilon$ 會促進更平滑、更易製造的邊界，但可能模糊細部特徵。較小的 $\epsilon$ 允許更銳利的特徵，但增加了數值複雜性，並可能導致棋盤格現象。
• 聚合參數 (p-範數中的 p)： 較高的 p 值使聚合約束更接近真實的最大應力，但可能導致不可微分的峰值和較慢的收斂速度。

5.3 3D列印工作流程與FDM製造

本文概述了一個完整的數位工作流程：

1. 取得最佳化的二維相場分佈 $\phi(\mathbf{x})$。
2. 應用閾值（例如 $\phi > 0.5$）以生成二進制材料-孔洞遮罩。
3. 通過擠出或將最佳化結果應用於 3D 切片，將二維遮罩轉換為 3D 模型。
4. 匯出為 STL 檔案以供切片軟體使用。
5. 使用熔融沉積成型 3D 列印機與標準聚合物線材（例如 PLA）列印結構。

圖表/圖解描述（概念性）： 圖表可能顯示一個序列：(a) 懸臂樑的初始設計域。(b) 無應力約束的最佳化拓撲（細薄、複雜）。(c) 具應力約束的最佳化拓撲（穩健、平滑連接）。(d) 來自應力約束設計的對應 3D 列印零件，展示其物理可實現性。

6. 核心見解與批判性分析

核心見解： 本文不僅僅是另一個拓撲最佳化的微調；它是在高保真度模擬與 3D 列印的嚴酷現實之間的必要橋樑。作者正確地指出，在積層製造最佳化設計中忽略應力約束是導致失敗的根源——字面上如此。他們採用具聚合應力約束的相場法，是一種務實且在數學上穩健的方式，將耐久性注入生成式設計過程。

邏輯流程： 邏輯是穩健的：從積層製造驅動的對複雜、輕量化結構的需求開始（緒論）。使用靈活的相場法將問題形式化（方法論）。以嚴謹的變分法為基礎（最佳化條件）。提供實用的計算方法（演算法）。用標準基準測試，並關鍵地，用實際列印進行驗證（實驗）。從理論到實體零件的流程是完整且令人信服的。

優點與缺點：
優點： 1) 整體觀點： 它在一個框架內連接了數學、力學與製造。2) 數學嚴謹性： 最佳化條件的推導是一個重要貢獻，超越了啟發式方法。3) 實用驗證： FDM 列印證明了設計是可製造的，而不僅僅是漂亮的圖片。
缺點： 1) 計算成本： 標題中的「多尺度」承諾探討不足。在多個尺度上求解具有應力聚合的耦合偏微分方程在 3D 中仍然成本過高，這是積層製造計算設計文獻中常見的瓶頸（參見 Gibson 等人，《積層製造技術》）。2) 材料模型簡化： 使用線性彈性忽略了積層製造特有的缺陷，如各向異性、殘餘應力和層間黏合問題，這些是像勞倫斯利佛摩國家實驗室積層製造計畫等機構的活躍研究領域。3) 有限的案例研究： 單一的二維懸臂樑範例雖然經典，但不足以展示所宣稱的「多尺度」和「多材料」能力。3D 晶格結構或多材料順應機構在哪裡？

可操作的見解： 對於業界從業者：現在就採用應力約束的思維。 即使使用帶有全域應力約束的更簡單的 SIMP 工具，也將產生更可靠的積層製造零件。對於研究人員：未來在於非侵入式整合。 與其使用單一的求解器，不如探索以交錯的方式將此相場最佳化器與專用的高保真度積層製造製程模擬器（例如基於 King 等人工作的模擬器）耦合。此外，該領域應朝著數據驅動的代理模型發展，以取代昂貴的應力約束評估，類似於物理資訊神經網路正在革新其他偏微分方程約束的最佳化問題。

7. 技術細節

核心的相場演化通常由一個廣義的 Cahn-Hilliard 或 Allen-Cahn 型方程控制，該方程從最佳化條件推導而來。典型的投影梯度下降更新可以寫為：

$\frac{\partial \phi}{\partial t} = -P_{[0,1]} \left( \frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \phi} \right) = -P_{[0,1]} \left( \frac{\partial J}{\partial \phi} + \lambda \frac{\partial G_{stress}}{\partial \phi} + \mu \frac{\partial G_{vol}}{\partial \phi} - \epsilon^2 \nabla^2 \phi \right)$

其中 $P_{[0,1]}$ 是一個將 $\phi$ 限制在 0 和 1 之間的投影算子，而 $\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta \phi}$ 是變分導數。項 $- \epsilon^2 \nabla^2 \phi$ 是確保介面規則性的梯度懲罰項。應力約束 $G_{stress}$ 通常使用設計域 $\Omega$ 上的 p-範數聚合：

$G_{stress} = \left( \int_{\Omega} (\sigma_{vm}(\mathbf{u}))^p \, d\Omega \right)^{1/p} - \bar{\sigma} \leq 0$

其中 $\sigma_{vm}$ 是馮·米塞斯應力。

8. 分析框架：概念性案例研究

情境： 設計一個用於無人機的輕量化承重支架，將透過選擇性雷射熔融技術使用鈦合金進行 3D 列印。

框架應用：

1. 問題定義： 設計域：機翼與有效載荷之間的連接空間。載荷：循環氣動力與慣性力。目標：最小化質量（在固定載荷下的柔度）。約束：1) 最大馮·米塞斯應力 < 降伏強度的 80%（考慮疲勞壽命）。2) 體積減少 < 70%。3) 最小特徵尺寸 > 4 倍雷射光斑直徑（考慮可列印性）。
2. 模型設定： 使用相場法，將兩個約束聚合到拉格朗日泛函中。最小特徵尺寸由相場參數 $\epsilon$ 和濾波技術控制。
3. 最佳化迴圈： 執行所述演算法。應力約束會將材料推入高應力區域（例如螺栓孔周圍），創建平滑的圓角而非尖銳的角落。
4. 後處理與驗證： 對最終的 $\phi$ 場進行閾值處理。對產生的幾何形狀進行高保真度非線性有限元素分析，包括來自選擇性雷射熔融的各向異性材料屬性，以在列印前驗證應力水平。

預期結果： 一個生成式設計、具有有機外觀的支架，比機械加工的同等產品顯著更輕，應力集中被刻意平滑化，並在首次列印嘗試前通過高保真度模擬進行驗證。

9. 未來應用與研究方向

• 生物醫學植入物： 為骨科植入物（例如脊椎融合器）最佳化多孔晶格結構，以匹配骨骼剛度（防止應力遮蔽），同時確保骨整合所需的孔徑尺寸，並在生理載荷下保持結構強度。
• 輕量化航太元件： 應用於衛星支架、引擎支架和內部機身結構的拓撲最佳化，這些領域的減重至關重要，且應力約束對安全至關重要。
• 多功能結構： 將框架延伸以同時最佳化熱管理（散熱）、流體流動（隨形冷卻通道）和結構性能——這是下一代電子與推進系統的關鍵方向。
• 與機器學習整合： 使用神經網路學習從載荷情況到最佳拓撲的映射，或作為昂貴應力分析的代理模型，大幅減少即時設計探索的計算時間。
• 製程感知最佳化： 最關鍵的未來步驟是通過直接將積層製造製程模型預測（殘餘應力、變形、各向異性）作為約束或目標整合到最佳化迴圈本身來閉合迴路，從「為積層製造而設計」邁向「零件與製程的協同設計」。

10. 參考文獻

1. Auricchio, F., Bonetti, E., Carraturo, M., Hömberg, D., Reali, A., & Rocca, E. (2019). Structural multiscale topology optimization with stress constraint for additive manufacturing. arXiv preprint arXiv:1907.06355.
2. Bendsoe, M. P., & Sigmund, O. (2003). Topology optimization: theory, methods, and applications. Springer Science & Business Media.
3. Gibson, I., Rosen, D., & Stucker, B. (2021). Additive Manufacturing Technologies (3rd ed.). Springer. (關於積層製造製程與設計挑戰的背景資料)。
4. King, W. E., Anderson, A. T., Ferencz, R. M., et al. (2015). Laser powder bed fusion additive manufacturing of metals; physics, computational, and materials challenges. Applied Physics Reviews, 2(4), 041304. (關於高保真度積層製造製程建模)。
5. Liu, K., Tovar, A., & Nutwell, E. (2020). Stress-constrained topology optimization for additive manufacturing. Structural and Multidisciplinary Optimization, 62, 3043–3064. (用於與其他應力約束拓撲最佳化方法比較)。
6. Lawrence Livermore National Laboratory. (n.d.). Additive Manufacturing. Retrieved from https://www.llnl.gov/science-technology/additive-manufacturing (關於積層製造研究的最新進展)。